Estudo Analítico das Cônicas

Uma curva pode ser definida como sendo o conjunto de pontos que gozam de uma mesma propriedade, ou seja, como um lugar geométrico, ou como gerada por um ponto móvel que se desloca no plano ou no espaço, ou ainda como a interseção de duas superfícies. As cônicas de Apolônio (interseções de superfícies) foram caracterizadas por suas propriedade focais (lugares geométricos) com estabelecido na seção anterior. Nessa seção, vamos representar mediante o emprego de coordenadas, pontos de um objeto geométrico por números e suas imagens por equações. Ou seja, vamos aplicar o método da Geometria Analítica para descrever e resolver problemas geométricos. O mérito desse método é creditado ao pai da filosofia moderna René Descartes ( 1.596-1.650). Sua obra ``Discours de la Méthode'', publicada em 1.637 em Leyden, na Holanda, continha um apêndice denominado La Géometrie, que apresentava as idéias fundamentais sobre a resolução dos problemas geométricos usando coordenadas (sistema cartesiano) e equações algébricas. Entretanto Descartes não tratou de quase nada do que se entende hoje por geometria analítica, não tendo deduzido sequer a equação de uma reta. Esse mérito do marco zero da geometria analítica deve ser creditado a Pierre de Fermat que conclui em 1.629 o manuscrito ``Ad locos planos e et sólidos isagoge'' (Introdução aos lugares planos e sólidos).

Usando as Proposições 3.4, 3.5, 3.6 e 3.7 acima podemos definir as cônicas como um lugar geométrico em termos da chamada propriedade focal. Precisamente temos:

Definição 4.1 Denomina-se cônica o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja razão entre as distâncias a um ponto fixo F e a uma reta fixa d é igual a uma constante não negativa e. O ponto fixo é chamado de foco, a reta fixa de diretriz e a razão constante de excentricidade da cônica. Quando e = 1 a cônica é chamada de parábola, quando 0 < e < 1 de elipse e quando e > 1 de hipérbole.

Adotando um sistema cartesiano de coordenadas retangulares podemos supor:

foco: ponto $F(x_{0},y_{0})$ ;
diretriz: reta ;
excentricidade: constante $e\geq0$

$\includegraphics[ height=1.7348in, width=1.6881in ]{Conica_Geral.eps}$

De acordo com a definição, um ponto

pertence à cônica quando

(1)

Elevando membro a membro ao quadrado, fazendo

, podemos escrever:

o que fornece a equação denominada equação focal das cônicas:

eem que

$x_{0}$ e

$y_{0}$ são as coordenadas do foco e

é a equação da diretriz correspondente.

Desenvolvendo os produtos notáveis e ordenando as potências de acordo com as potências das variáveis

temos uma igualdade da forma:

(2)

em que as constantes A, B, C, D, E e F satisfazem

que é a forma geral da equação cartesiana geral das cônicas. Os vários valores que as constantes A, B, C, D, E e F podem assumir fornecem: pontos, retas , círculos, parábolas, elipses e hipérboles.

Por exemplo, se em um certo sistema de coordenadas cartesianas ortogonais tem-se

, então temos uma parábola com:

Ou seja, a parábola tem equação:

A forma da equação de uma cônica depende da escolha do sistema de eixos coordenados. Além disso, existe uma relação entre elas!

Consideremos o sistema de coordenadas cartesianas ortogonais para o plano, em que o eixo $\tilde{x}$ é a reta perpendicular à diretriz d passando pelo foco F e o eixo $\tilde{y}$ coincide com a diretriz. Seja $\tilde{O}$ a origem desse sistema de coordenadas.