Corpo de Engenheiros 2012 - Questão 14

Corpo de Engenheiros 2012 - Questão 14

O coeficiente angular da reta tangente à elipse de equação x² + 2y² =3 no ponto (1,1) é:

a)2

b)1/2

c)0

d)-1/2

e)-2

Sabemos que: 

P pertence à reta t implica que:

y - y0 = m (x - x0)

Onde

x0 =1

e

y0 =1

Assim temos:

y - 1= m(x - 1)

Assim

y = mx - m + 1

Montando o sistema

 y = mx - m + 1 (Equação 1)

 x² +2y² = 3 (Equação 2)

Pelo método da substituição substituindo o valor de y da equação 2 por mx - m + 1 conforme a Equação 1 temos:

x² + 2(mx - m + 1)² = 3

Quadrado da “soma” entre três termos

(a - b + c)² = (a - b + c) * (a - b + c) = a² - ab + ac - ab + b² - bc + ac - bc + c² =

a² + b² + c² - 2ab + 2ac - 2bc

No nosso caso:

a=mx

b=m

c = 1

Dessa forma Temos:

x² + 2 (m²x² + m² + 1² - 2mxm + 2mx – 2m) = 3

x² + 2 (m²x² + m² + 1² - 2m²x + 2mx – 2m) = 3

x² + 2 m²x² + 2m² + 2 - 4m²x + 4mx – 4m - 3 = 0

x² + 2 m²x²  - 4m²x + 4mx + 2m²  – 4m - 1 = 0

(x-1) (2m²x – 2m² + 4m + x + 1) =0

Quando temos um produto igual à zero quer dizer que, pelo menos, um desses fatores, obrigatoriamente, tem que ser zero.

1)(x-1) = 0 == > x =1

(2m²x – 2m² + 4m + 2) =0 == > 2m²x – 2m² + 4m = - 2 == > 2m² – 2m² + 4m = - 2 (÷2) == > + 4m = - 2

e/ou

(2m²x - 2m² + 4m + x + 1) = 0

(2m² + 1)x = 2m² - 4m – 1

x= (2m² - 4m – 1)/( 2m² + 1) completando o quadrado

x= [2(m² - 1) – 3]/( 2m² + 1)

x = 2m²/ (2m² +1) – 5/( 2m² + 1)

m = ±1 com x= -1

e

m =0 com x = -5

Resposta: m=0

Assertiva C