Questão 174 - ENEM 2009 *

Considere um ponto P em uma circunferência de raio r no plano cartesiano. Seja Q a projeção ortogonal de P sobre o eixo x, como mostra a figura, e suponha que o ponto P percorra, no sentido anti-horário, uma distância d ≤ r sobre a circunferência.

Então, o ponto Q percorrerá, no eixo x, uma distância dada por

Alternativa Oficial B.

ENEM 2009 - Questão 174 – Prova Azul.

Considere um ponto P em uma circunferência de raio r no plano cartesiano. Seja Q a projeção ortogonal de P sobre o eixo x, como mostra a figura, e suponha que o ponto P percorra, no sentido anti-horário, uma distância d ≤ r sobre a circunferência.

Então, o ponto Q percorrerá, no eixo x, uma distância dada por

RESOLUÇÃO: 

A figura acima mostra a distância que o ponto Q percorrerá no eixo x.

Sabe-se que o comprimento do setor circular é dado pela fórmula: C = α . r  → C/r = α

α = d/r (rad)

cos α = k / r   →  K = r.cos(d/R)

Como x + k = r temos que  x = r – k

X = r – r.cos(d/r)

X= r(1-cos(d/r))

Letra B


Descomplica:

Comentário da questão

O ângulo, em radianos, é definido como a razão entre a medida do comprimento do arco e o raio da circunferência.

No caso, se o ponto P percorre uma distância d ≤ r, o ângulo será menor que 1 radiano, portanto menor que 60 graus, menor que a quarta parte da volta.

Marcando qualquer ponto na circunferência abaixo da posição inicial de P, antes de completar a quarta parte da volta, tem-se que a sua projeção no eixo x é igual à diferença do raio com o produto do raio pelo cosseno do ângulo central. Este ângulo tem seu valor expresso em radianos por d/r. Assim, a distância percorrida pelo ponto P no eixo x é de r – r.cos.d/r ou r(1 – cos.d/r).

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