ENEM 2013 QUESTÃO 175

Nos últimos anos, a televisão tem passado por uma verdadeira revolução, em termos de qualidade de imagem, som e interatividade com o telespectador. Essa transformação se deve à conversão do sinal analógico para o sinal digital.

Entretanto, muitas cidades ainda não contam com essa nova tecnologia. Buscando levar esses benefícios a três cidades, uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão, que envie sinal às antenas A, B e C, já existentes nessas cidades. As localizações das antenas estão representadas no plano cartesiano:

(Foto: Reprodução)

A torre deve estar situada em um local equidistante das

três antenas.

O local adequado para a construção dessa torre corresponde ao ponto de coordenadas

A

(65;35).
B

(53;30).
C

(45;35).
D

(50;20).
E

(50;30).

Resolução

A torre deve ser construída em um ponto equidistante (P) simultaneamente aos pontos A (30,20), B(70,20) e C(60,50). Os pontos equidistantes de A e B pertencem à mediatriz do segmento AB. A mediatriz passa pela coordenada x =

30+702 = 50. Como o ponto C também deve ser equidistante aos pontos A e B, faz-se dPA= dPC. A distância entre pontos pode ser calculada através da relação

d=

(∆x)2+(∆y)−−−−−−−−−−√2. Assim

(50−30)2+(yP−20)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√2 =

(50−60)2+(yP−50)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√2.

Elevando ambos os lados ao quadrado, tem-se que:

20

2+(y

P−20)

2 = (-10)

2 + (y

P−50)

2

400 + y

2P – 40y

P + 400 = 100+ y

2P – 100y

P + 2500

60y

P = 1800

y

P = 30.

RESPOSTA CORRETA:

(50;30).

http://educacao.globo.com/provas/enem-2013/questoes/175.html

http://guiadoestudante.abril.com.br/vestibular-enem/enem-2013-correcao-questao-175-matematica-758529.shtml

Distância entre dois pontos

A base da geometria analítica encontra-se na distância entre dois pontos, pois muitos conceitos são inerentes a esse. Portanto, compreender a expressão algébrica para o cálculo da distância entre dois pontos colabora para uma compreensão fidedigna de outros conceitos da geometria analítica.

Distância entre dois Pontos

A distância permeia todos os conceitos da geometria analítica, pois nesta área da matemática temos a relação de elementos geométricos com os algébricos, e o elemento básico da geometria é o ponto.

Um dos conceitos básicos que vimos na geometria é que a menor distância entre dois pontos é dada por uma reta, contudo, na geometria analítica esses pontos recebem coordenadas no plano cartesiano e por meio dessas coordenadas podemos encontrar o valor da distância entre dois pontos.

Vamos representar dois pontos quaisquer no plano cartesiano.

Portanto, teremos que a distância entre os pontos A e B será a medida do segmento que tem os dois pontos como extremidade. Por se tratar de dois pontos quaisquer, representaremos as coordenadas desses pontos de maneira genérica.

Sabe-se que os eixos coordenados do plano cartesiano são ortogonais, portanto, podemos construir um triângulo retângulo utilizando os pontos A e B, como mostra a figura a seguir. Triângulo retângulo AOB

Note que o segmento AB é a hipotenusa do triângulo AOB, e a medida de AB corresponde à distância entre esses dois pontos. Por se tratar de um triângulo retângulo, podemos aplicar o teorema de Pitágoras, no qual teremos:

Note que basta fazer as diferenças das coordenadas de cada um dos pontos e elevar ao quadrado, contudo são coordenadas do eixo X com coordenadas do eixo X e de forma análoga para as coordenadas do eixo Y.

Calcule a distância entre os pontos: A (4,5) e B(1,1) e represente-os geometricamente.

Como vimos anteriormente, basta aplicar a expressão para o cálculo da distância entre dois pontos. Sendo assim: