Preparaenem - Raiz de um polinômio

 Definição da raiz de um polinômio

Definição da raiz de um polinômio



No estudo do valor numérico de um polinômio, notamos que para cada valor que atribuímos à variável x, encontramos um valor numérico para o polinômio.

A raiz de um polinômio é denotada pelo valor que a variável assume de modo que o valor numérico do polinômio seja igual a zero. Na linguagem matemática, seria assim:





Antes de compreendermos o conceito de raiz, vamos relembrar a forma geral de um polinômio de grau n.

Expressão geral de uma função polinomial


O termo “raiz” é visto pela primeira vez como a solução de uma equação, entretanto você deve lembrar que aquela equação estava igual a zero, sendo o zero o valor numérico da equação.

As raízes polinomiais possuem grande importância para a construção de gráficos dos polinômios, afinal, com essas raízes podemos encontrar os pontos onde a função intersecta o eixo das abscissas (eixo x).

Problemas envolvendo raízes polinomiais podem aparecer, normalmente, de duas maneiras. Em uma verifica-se se o valor informado para a variável levará ao valor numérico zero, ou seja, se este valor é a raiz do polinômio; e na outra maneira deverá ser encontrada a raiz do polinômio.

Um fato importante a ser ressaltado é que a quantidade de raízes de um polinômio está diretamente relacionada ao grau deste polinômio. Por exemplo, um polinômio de grau 2 poderá ter no máximo duas raízes, sendo estes números complexos ou não. Por sua vez, o polinômio de grau 3 terá no máximo 3 raízes.

Exemplos:

Verifique se 1 é a raiz do polinômio: p(x)=x³+2x²-2x-1.


Caso 1 seja raiz, teremos que p(1)=0. Vamos verificar se isso é verdade.



Portanto, o valor x=1 é uma das raízes do polinômio p(x)=x³+2x²-2x-1. Existem outras raízes, mas este é um assunto para outro artigo.


Sabendo que 1 é raiz do polinômio p(x)=(x-3)²+m (m ϵ R), determine o valor de m.


Como 1 é raiz do polinômio, temos que 


 





Se P(a) = 0, o número a é chamado de raiz ou zero de P(x).


Exemplo 1

Considere o polinômio :

6 e -2 são raízes de P(x) 

Exemplo 2

Sabendo-se que –3 é raiz de P(x) = x³ + 4x² - ax + 1, calcule o valor de a.

Resolução

Como -3 é raiz de P(x) temos que:

Exemplo 3

Seja P(x) um polinômio do 2º grau. Sabendo-se que 2 é raiz de P(x), P(-1) = 12 e P(0) = 6, calcule P(3).

Resolução

Sabemos que um polinômio do 2º grau é da forma P(x) = ax² + bx + c. Podemos encontrar os valores de ab e c através dos dados fornecidos pelo enunciado:

Como 2 é raiz de P(x):

          (I)

Como P(-1) = 12:

     (II)

Como P(0) = 6:

Substituindo o valor de c em (I) e (II), temos um sistema de equações:

Assim:


Calculando o valor de P(3):



https://www.somatematica.com.br/emedio/polinomios/polinomios2.php

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