Preparaenem - Raiz de um polinômio

 

Definição da raiz de um polinômio

No estudo do valor numérico de um polinômio, notamos que para cada valor que atribuímos à variável x, encontramos um valor numérico para o polinômio.

A raiz de um polinômio é denotada pelo valor que a variável assume de modo que o valor numérico do polinômio seja igual a zero. Na linguagem matemática, seria assim:





Antes de compreendermos o conceito de raiz, vamos relembrar a forma geral de um polinômio de grau n.




O termo “raiz” é visto pela primeira vez como a solução de uma equação, entretanto você deve lembrar que aquela equação estava igual a zero, sendo o zero o valor numérico da equação.

As raízes polinomiais possuem grande importância para a construção de gráficos dos polinômios, afinal, com essas raízes podemos encontrar os pontos onde a função intersecta o eixo das abscissas (eixo x).

Problemas envolvendo raízes polinomiais podem aparecer, normalmente, de duas maneiras. Em uma verifica-se se o valor informado para a variável levará ao valor numérico zero, ou seja, se este valor é a raiz do polinômio; e na outra maneira deverá ser encontrada a raiz do polinômio.

Um fato importante a ser ressaltado é que a quantidade de raízes de um polinômio está diretamente relacionada ao grau deste polinômio. Por exemplo, um polinômio de grau 2 poderá ter no máximo duas raízes, sendo estes números complexos ou não. Por sua vez, o polinômio de grau 3 terá no máximo 3 raízes.

Exemplos:

Verifique se 1 é a raiz do polinômio: p(x)=x³+2x²-2x-1.

Caso 1 seja raiz, teremos que p(1)=0. Vamos verificar se isso é verdade.



Portanto, o valor x=1 é uma das raízes do polinômio p(x)=x³+2x²-2x-1. Existem outras raízes, mas este é um assunto para outro artigo.

Sabendo que 1 é raiz do polinômio p(x)=(x-3)²+m (m ϵ R), determine o valor de m.

Como 1 é raiz do polinômio, temos que 

 

Por: Gabriel Alessandro de Oliveira

Se P(a) = 0, o número a é chamado de raiz ou zero de P(x).

Exemplo 1

Considere o polinômio :

6 e -2 são raízes de P(x) 

Exemplo 2

Sabendo-se que –3 é raiz de P(x) = x³ + 4x² - ax + 1, calcule o valor de a.

Resolução

Como -3 é raiz de P(x) temos que:

Exemplo 3

Seja P(x) um polinômio do 2º grau. Sabendo-se que 2 é raiz de P(x), P(-1) = 12 e P(0) = 6, calcule P(3).

Resolução

Sabemos que um polinômio do 2º grau é da forma P(x) = ax² + bx + c. Podemos encontrar os valores de a, b e c através dos dados fornecidos pelo enunciado:

Como 2 é raiz de P(x):

          (I)

Como P(-1) = 12:

     (II)

Como P(0) = 6:

Substituindo o valor de c em (I) e (II), temos um sistema de equações:

Assim:

Calculando o valor de P(3):

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