Dados os conjuntos A e B , seja X um conjunto com as seguintes propriedades:1 a X ⊂ A e X ⊂ B ,2 a Se Y ⊂ A e Y ⊂ B então Y ⊂ X

Analisando as Propriedades do Conjunto X:

Com base nas propriedades descritas, podemos concluir que o conjunto X se encaixa em um conceito fundamental da teoria de conjuntos: o mínimo supremo (ou menor limite superior) de A e B.

Definição de Mínimo Supremo:

Em termos técnicos, o mínimo supremo de A e B, denotado por sup(A, B), é o menor conjunto que contém A e B. Ou seja, é o conjunto X que satisfaz as seguintes condições:

A ⊆ X e B ⊆ X: Todo elemento de A e B também pertence a X.
Se Y ⊆ A e Y ⊆ B, então Y ⊆ X: Se um conjunto Y é um subconjunto de A e B, então Y também é um subconjunto de X.

Propriedades Equivalentes:

É importante destacar que as propriedades descritas no enunciado são equivalentes à definição formal do mínimo supremo. Em outras palavras, um conjunto X satisfaz as propriedades 1 e 2 se e somente se for o mínimo supremo de A e B.

Conclusão:

Portanto, podemos concluir que o conjunto X descrito no enunciado é o mínimo supremo (ou menor limite superior) dos conjuntos A e B.

Exemplo Prático:

Considere os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4}. O mínimo supremo de A e B é o conjunto X = {2, 3}.

Propriedade 1: Todos os elementos de A (1, 2, 3) e B (2, 3, 4) também estão presentes em X (2, 3).
Propriedade 2: Se Y = {2}, então Y ⊆ A e Y ⊆ B. Logo, Y também é um subconjunto de X.

Observações Importantes:

O mínimo supremo de A e B, quando existe, é único.
O símbolo sup(A, B) é usado para denotar o mínimo supremo de A e B.
O mínimo supremo também pode ser chamado de menor limite superior ou junção de A e B.

Aplicações do Mínimo Supremo:

O conceito de mínimo supremo tem diversas aplicações em matemática, principalmente em áreas como análise matemática e topologia.

Referências: