06. Com exatamente 12 quadrado de área igual 2,25 cm², é possível construir um retângulo de do 27 cm². O menor perímetro que esse retangulo pode ter é?

Janildo Arantes dezembro 09, 2024




06. Com exatamente 12 quadrados de área igual 2,25 cm², é possível construir um retângulo de do 27 cm². 

O menor perímetro que esse retangulo pode ter é?


Analisando o problema

1. Área total dos quadrados:

  • Temos 12 quadrados, cada um com área de 2,25 cm².
  • Área total = 12 * 2,25 cm² = 27 cm².

2. Construindo o retângulo:

  • Como a área total dos quadrados é igual à área desejada do retângulo, é possível construí-lo.
  • Para minimizar o perímetro, devemos buscar as dimensões do retângulo que mais se aproximam de um quadrado.

3. Encontrando as dimensões:

  • Decompondo a área em fatores: 27 = 3 * 9.
  • Portanto, as dimensões do retângulo serão 3 cm e 9 cm.

4. Calculando o perímetro:

  • Perímetro = 2 * (comprimento + largura)
  • Perímetro = 2 * (3 cm + 9 cm) = 2 * 12 cm = 24 cm.

Resposta:

O menor perímetro que esse retângulo pode ter é de 24 cm.

Explicação:

  • Por que 3 cm e 9 cm? Ao escolher dimensões que se aproximam mais de um quadrado, minimizamos o perímetro. Um quadrado de área 27 cm² teria lados com medida √27 cm, que não é um número inteiro. Portanto, 3 cm e 9 cm são as dimensões inteiras mais próximas que resultam em uma área de 27 cm².
  • Por que o perímetro é mínimo? O perímetro de um retângulo é a soma de todos os seus lados. Ao aproximarmos as dimensões de um quadrado, estamos diminuindo a diferença entre o maior e o menor lado, o que resulta em um perímetro menor.

Em resumo:

Ao organizar os 12 quadrados em um retângulo de 3 cm por 9 cm, obtemos o menor perímetro possível, que é de 24 cm.

Observação: Qualquer outra combinação de dimensões para o retângulo resultará em um perímetro maior.



Análise Completa e Melhorias na Resposta

A resposta fornecida está correta e bem explicada. No entanto, podemos adicionar alguns detalhes para torná-la ainda mais completa e didática:

1. Justificativa da escolha das dimensões:

  • Por que 3 cm e 9 cm minimizam o perímetro?
    • Intuitivamente: Quanto mais próximo de um quadrado o retângulo estiver, menor será seu perímetro. Isso ocorre porque o quadrado é a figura geométrica que possui a menor área para um dado perímetro.
    • Matematicamente: Ao escolhermos dimensões que se aproximam mais de um quadrado, estamos diminuindo a diferença entre o comprimento e a largura. Como o perímetro é a soma de todos os lados, essa diminuição resulta em um perímetro menor.

2. Visualização:

  • Um diagrama simples mostrando os diferentes retângulos que podem ser formados com os 12 quadrados ajudaria a visualizar a ideia de que o retângulo 3x9 é o mais próximo de um quadrado e, portanto, tem o menor perímetro.

3. Generalização:

  • Para qualquer área: Podemos generalizar dizendo que, para uma dada área, o retângulo com o menor perímetro sempre será aquele que mais se aproxima de um quadrado.

Resposta aprimorada:

"Para resolver essa questão, vamos primeiro entender a situação: Você tem 12 quadrados com área de 2,25 cm² cada. Cada quadrado tem lado de 1,5 cm (√2,25 = 1,5 cm). A área total é 12 * 2,25 = 27 cm².

Para construir um retângulo com essa área e o menor perímetro possível, devemos buscar um retângulo que seja o mais próximo de um quadrado. A razão para isso é que o quadrado é a figura geométrica que possui a menor área para um dado perímetro.

As possíveis dimensões para o retângulo são os fatores de 27: 1x27 e 3x9. Calculando os perímetros:

  • Retângulo 1x27: Perímetro = 2 * (1 + 27) = 56 cm.
  • Retângulo 3x9: Perímetro = 2 * (3 + 9) = 24 cm.

Portanto, o retângulo com as dimensões 3 cm x 9 cm é aquele que possui o menor perímetro, que é de 24 cm.










07. Se, em planta, um terreno possui formato de um paralelogramo, sendo que, sua altura mede 30 cm e base é igual 2/5 dessa medida, a area desse terreno no desenho e de?

Resolvendo o problema do paralelogramo

Entendendo o problema:

Temos um paralelogramo em uma planta, e queremos descobrir sua área.

Dados do problema:

  • Altura do paralelogramo = 30 cm
  • Base do paralelogramo = 2/5 da altura

Resolução:

  1. Calculando a base:

    • Base = (2/5) * 30 cm = 12 cm

  2. Calculando a área:

    • A área de um paralelogramo é dada por: Área = base * altura
    • Área = 12 cm * 30 cm = 360 cm²

Resposta:

A área do terreno no desenho é de 360 cm².

Em resumo:

  • Calculamos a medida da base utilizando a informação de que ela é 2/5 da altura.
  • Em seguida, aplicamos a fórmula da área do paralelogramo para encontrar a resposta final.

Observação:

É importante lembrar que a área encontrada se refere ao desenho em planta, e não à área real do terreno. Para encontrar a área real, seria necessário conhecer a escala utilizada no desenho.






08. Um terreno possui a forma de um triângulo retângulo cujo maior lado mede 34m, e cujo lado de medida intermediária mede o correspondente a 15/8 (quinze oitavos) da medida do menor dos lados. A area desse terreno e?



Resolvendo o problema do terreno triangular

Entendendo o problema:

Temos um terreno triangular retângulo, onde:

  • A hipotenusa (maior lado) mede 34m.
  • Um dos catetos (lado intermediário) mede 15/8 do menor cateto.

O que queremos descobrir:

  • A área desse terreno triangular.

Resolução:

  1. Definindo as variáveis:

    • Seja "x" a medida do menor cateto.
    • O cateto intermediário será então (15/8)x.

  2. Utilizando o Teorema de Pitágoras:

    • Em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. 1  

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    • Então, temos a seguinte equação: 

    • x² + (15/8x)² = 34² 

    • x² + 225/64x² = 1156 

    • (289/64)x² = 1156 

    • x² = (1156*64)/289 

    • x² = 256 x = √256 

    • x = 16

    • Portanto, o menor cateto mede 16m.

  3. Calculando o cateto intermediário:

    • Cateto intermediário = (15/8) * 16m = 30m

  4. Calculando a área do triângulo:

    • A área de um triângulo é dada por: Área = (base * altura) / 2
    • Neste caso, a base e a altura são os catetos do triângulo retângulo.
    • Área = (16m * 30m) / 2 = 240 m²

Resposta:

A área do terreno triangular é de 240 m².

Em resumo:

  • Utilizando o Teorema de Pitágoras, encontramos a medida do menor cateto.
  • Em seguida, calculamos a medida do cateto intermediário.
  • Por fim, utilizamos a fórmula da área do triângulo para obter a resposta final.

Observação:

O Teorema de Pitágoras é fundamental para resolver problemas envolvendo triângulos retângulos, pois relaciona os lados de um triângulo retângulo de forma simples e direta.



9. Qual a area da parte branca?







Analisando a figura e resolvendo o problema

Compreendendo a figura:

Temos um círculo maior com um círculo menor inscrito nele. A parte branca corresponde à área do círculo maior menos a área do círculo menor.

Dados do problema:

  • Raio do círculo menor (r): 2 cm
  • Raio do círculo maior (R): 2 cm + 3 cm = 5 cm

Fórmulas importantes:

  • Área de um círculo: A = π * r²

Resolução:

  1. Calculando a área do círculo maior (Am):

    • Am = π * R²
    • Am = π * 5²
    • Am = 25π cm²

  2. Calculando a área do círculo menor (ap):

    • ap = π * r²
    • ap = π * 2²
    • ap = 4π cm²

  3. Calculando a área da parte branca (A):

    • A = Am - ap
    • A = 25π cm² - 4π cm²
    • A = 21π cm²

Resposta:

A área da parte branca é 21π cm².

Portanto, a alternativa correta é a letra E.

Conclusão:

Ao calcular a área de cada círculo e subtrair a área do círculo menor da área do círculo maior, encontramos a área da região branca. O resultado final, 21π cm², corresponde à alternativa E.

Observação:

  • O valor exato da área da parte branca é 21π cm². Se precisarmos de um valor aproximado, podemos utilizar o valor aproximado de π (por exemplo, 3,14) e realizar a multiplicação.





 
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