Equações do Segundo Grau *

Introdução às equações algébricas.

Equações algébricas são equações nas quais a incógnita x está sujeita a operações algébricas como: adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação.

Exemplos:

1. a x + b = 0
   ax  -  b = 0
2. a x² + bx + c = 0
    a x² - bx + c = 0
3. a x⁴ + b x² + c = 0
   a x⁴ - b x² + c = 0
   
   

Uma equação algébrica está em sua forma canônica, quando ela pode ser escrita como:

a_o xⁿ + a₁ x^n-1 + ... + a_n-1 x¹ + a_n = 0 onde n é um número inteiro positivo (número natural). O maior expoente da incógnita em uma equação algébrica é denominado o grau da equação e o coeficiente do termo de mais alto grau é denominado coeficiente do termo dominante.

Exemplo: A equação 4x²+3x+2=0 tem o grau 2 e o coeficiente do termo dominante é 4. Neste caso, dizemos que esta é uma equação do segundo grau.

A fórmula quadrática de Sridhara (Bhaskara)

Mostraremos na sequência como o matemático Sridhara, obteve a Fórmula (conhecida como sendo) de Bhaskara, que é a fórmula geral para a resolução de equações do segundo grau. Um fato curioso é que a Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós.

O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma.

Seja a equação:

a x² + b x + c = 0

1 -  Com a não nulo e dividindo todos os coeficientes por a, temos:

x² + (b/a) x + c/a = 0

2 - Passando o termo constante para o segundo membro, teremos:

x² + (b/a) x = -c/a

3 - Prosseguindo, faremos com que o lado esquerdo da equação seja um quadrado perfeito e para isto somaremos o quadrado de b/2a a ambos os membros da equação para obter:

x² + (b/a) x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)²

4 - Simplificando ambos os lados da equação, obteremos:

[x+(b/2a)]² = (b² - 4ac) / 4a²

Notação: Usaremos a notação R[x] para representar a raiz quadrada de x>0. R[5] representará a raiz quadrada de 5. Esta notação está sendo introduzida aqui para fazer com que a página seja carregada mais rapidamente, pois a linguagem HTML ainda não permite apresentar notações matemáticas na Internet de uma forma fácil.

5 - Extraindo a raiz quadrada de cada membro da equação e lembrando que a raiz quadrada de todo número real não negativo é também não negativa, obteremos duas respostas para a nossa equação:

x + (b/2a) = + R[(b²-4ac) / 4a²]

ou

x + (b/2a) = - R[(b²-4ac) / 4a²]

que alguns, por preguiça ou descuido, escrevem:

contendo um sinal ± que é lido como mais ou menos. Lembramos que este sinal ± não tem qualquer significado em Matemática.

Como estamos procurando duas raízes para a equação do segundo grau, deveremos sempre escrever:

x' = -b/2a + R[b²-4ac] /2a

ou

x" = -b/2a - R[b²-4ac] /2a

A fórmula de Bhaskara ainda pode ser escrita como:

onde D (às vezes usamos a letra maiúscula "delta" do alfabeto grego) é o discriminante da equação do segundo grau, definido por:

Delta = b² - 4ac

Equação do segundo grau

Uma equação do segundo grau na incógnita x é da forma:

a x² + b x + c = 0

onde os números reais a, b e c são os coeficientes da equação, sendo que a deve ser diferente de zero. Essa equação é também chamada de equação quadrática, pois o termo de maior grau está elevado ao quadrado.

Equação Completa do segundo grau

Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.

Exemplos:

1. 2 x² + 7x + 5 = 0
2. 3 x² + x + 2 = 0

Equação incompleta do segundo grau

Uma equação do segundo grau é incompleta se b=0 ou c=0 ou b=c=0. Na equação incompleta o coeficiente a é diferente de zero.

Exemplos:

1. 4 x² + 6x = 0
2. 3 x² + 9 = 0
3. 2 x² = 0

Resolução de equações incompletas do 2o. grau

Equações do tipo ax²=0: Basta dividir toda a equação por a para obter:

x² = 0

significando que a equação possui duas raízes iguais a zero.

Equações do tipo ax²+c=0: Novamente dividimos toda a equação por a e passamos o termo constante para o segundo membro para obter:

x² = -c/a

Se -c/a for negativo, não existe solução no conjunto dos números reais.

Se -c/a for positivo, a equação terá duas raízes com o mesmo valor absoluto (módulo) mas de sinais contrários.

Equações do tipo ax²+bx=0: Neste caso, fatoramos a equação para obter:

x (ax + b) = 0

e a equação terá duas raízes:

x' = 0   ou    x" = -b/a

Exemplos gerais

1. 4x²=0 tem duas raízes nulas.
2. 4x²-8=0 tem duas raízes: x'=R[2], x"= -R[2]
3. 4x²+5=0 não tem raízes reais.
4. 4x²-12x=0 tem duas raízes reais: x'=3, x"=0

Exercícios: Resolver as equações incompletas do segundo grau.

1. x² + 6x = 0
2. 2 x² = 0
3. 3 x² + 7 = 0
4. 2 x² + 5 = 0
5. 10 x² = 0
6. 9 x² - 18 = 0

Resolução de equações completas do 2o. grau

Como vimos, uma equação do tipo: ax²+bx+c=0, é uma equação completa do segundo grau e para resolvê-la basta usar a fórmula quadrática (atribuída a Bhaskara), que pode ser escrita na forma:

onde D=b²-4ac é o discriminante da equação.

Para esse discriminante D há três possíveis situações:

1. Se D<0, não há solução real, pois não existe raiz quadrada real de número negativo.
2. Se D=0, há duas soluções iguais:
   
   x' = x" = -b / 2a
3. Se D>0, há duas soluções reais e diferentes:
   
   x' = (-b + R[D])/2a
   x" = (-b - R[D])/2a

Exemplos: Preencher a tabela com os coeficientes e o discriminante de cada equação do segundo grau, analisando os tipos de raízes da equação.

Equação	a	b	c	Delta	Tipos de raízes
x²-6x+8=0	1	-6	8	4	Reais e diferentes
x²-10x+25=0
x²+2x+7=0
x²+2x+1=0
x²+2x=0

O uso da fórmula de Bhaskara

Você pode realizar o Cálculo das Raízes da Equação do segundo grau com a entrada dos coeficientes a, b e c em um formulário, mesmo no caso em que D é negativo, o que força a existência de raízes complexas conjugadas. Para estudar estas raízes, visite o nosso link Números Complexos.

Mostraremos agora como usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação:

x² - 5 x + 6 = 0

1. Identificar os coeficientes: a=1, b= -5, c=6
2. Escrever o discriminante D = b²-4ac.
3. Calcular D=(-5)²-4×1×6=25-24=1
4. Escrever a fórmula de Bhaskara:
   
   
5. Substituir os valores dos coeficientes a, b e c na fórmula:
   
   x' = (1/2)(5+R[1]) = (5+1)/2 = 3
   x" = (1/2)(5-R[1]) = (5-1)/2 = 2

Exercícios

1. Calcular o discriminante de cada equação e analisar as raízes em cada caso:
   
   1. x² + 9 x + 8 = 0
   2. 9 x² - 24 x + 16 = 0
   3. x² - 2 x + 4 = 0
   4. 3 x² - 15 x + 12 = 0
   5. 10 x² + 72 x - 64 = 0
2. Resolver as equações:
   
   1. x² + 6 x + 9 = 0
   2. 3 x² - x + 3 = 0
   3. 2 x² - 2 x - 12 = 0
   4. 3 x² - 10 x + 3 = 0

Equações fracionárias do segundo grau

São equações do segundo grau com a incógnita aparecendo no denominador.

Exemplos:

1. 3/(x² - 4) + 1/(x - 3) = 0
2. 3/(x²-4)+1/(x-2)=0

Para resolver este tipo de equação, primeiramente devemos eliminar os valores de x que anulam os denominadores, uma vez que tais valores não servirão para as raízes da equação, pois não existe fração com denominador igual a 0. Na sequência extraímos o mínimo múltiplo comum de todos os termos dos denominadores das frações, se houver necessidade.

1. Consideremos o primeiro exemplo:
   
   3/(x² - 4) + 1/(x - 3) = 0
   x deve ser diferente de 3, diferente de 2 e diferente de -2, assim podemos obter o mínimo múltiplo comum entre os termos como:
   
   
   MMC(x) = (x² - 4)(x - 3)
   Reduzindo as frações ao mesmo denominador que deverá ser MMC(x), teremos:
   
   
   [3(x-3) + 1(x²-4)] / (x²-4)(x-3) = 0
   o que significa que o numerador deverá ser:
   
   
   3(x - 3) + 1(x² - 4) = 0
   que desenvolvido nos dá:
   
   
   x² + 3x - 13 = 0
   que é uma equação do segundo grau que pode ser resolvida pela fórmula de Bhaskara. Não existirão números reais satisfazendo esta equação.
   
2. Consideremos agora o segundo exemplo:
   
   (x+3)/(2x-1)=2x/(x+4)
   O mínimo múltiplo comum entre 2x-1 e x+4 é MMC=(2x-1)(x-4) (o produto entre estes fatores) e MMC somente se anulará se x=1/2 ou x= -4. Multiplicando os termos da equação pelo MMC, teremos uma sequência de expressões como:
   
   

   (x+3)(x+4)=2x(2x-1)
   x² + 7x + 12 = 4x² - 2x
   -3x² + 9x + 12 = 0
   3x² - 9x - 12 = 0
   x² - 3x - 4 = 0
   (x-4)(x+1) = 0

   Solução: x'=4 ou x"= -1
   
3. Estudemos outro exemplo:
   
   3/(x²-4)+1/(x-2)=0
   O mínimo múltiplo comum é MMC=x²-4=(x-2)(x+2) e este MMC somente se anulará se x=2 ou x= -2. Multiplicando os termos da equação pelo MMC, obteremos:
   
   
   3 + (x+2)=0
   cuja solução é x= -5
   

Exercícios: Resolver as equações do segundo grau fracionárias:

1. x + 6/x = -7
2. (x+2)/(x+1) = 2x/(x-4)
3. (2-x)/x + 1/x² = 3/x
4. (x+2)/(x-2) + (x-2)/(x+2) = 1

Equações bi-quadradas

São equações do 4o. grau na incógnita x, da forma geral:

a x⁴ + b x² + c = 0

Na verdade, esta é uma equação que pode ser escrita como uma equação do segundo grau através da substituição:

y = x²

para gerar

a y² + b y + c = 0

Aplicamos a fórmula quadrática para resolver esta última equação e obter as soluções y' e y" e o procedimento final deve ser mais cuidadoso, uma vez que

x² = y'   ou   x² = y"

e se y' ou y" for negativo, as soluções não existirão para x.

Exemplos:

1. Para resolver x⁴-13x²+36=0, tomamos y=x², para obter y²-13y+36=0, cujas raízes são y'=4 ou y"=9, assim:
   
   x² = 4   ou   x² = 9
   o que garante que o conjunto solução é:
   
   
   S = { 2, -2, 3, -3}
2. Para resolver x⁴-5x²-36=0, tomamos y=x², para obter y²-5y-36=0, cujas raízes são y'= -4 ou y"=9 e desse modo:
   
   x² = -4   ou   x² = 9
   o que garante que o conjunto solução é:
   
   
   S = {3, -3}
3. Se tomarmos y=x² na equação x⁴+13x²+36=0, obteremos y²+13y+36=0, cujas raízes são y'= -4 ou y"= -9 e dessa forma:
   
   x² = -4   ou   x² = -9
   o que garante que o conjunto solução é vazio.
   
   Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/eq2g/eq2g.htm

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Construída por Andresa F.Barbieri e Ulysses Sodré. Atualizada em 24/mar/2005. Exercícios de Equações de 2º Grau 1) Identifique os coeficientes de cada equação e diga se ela é completa ou não: a) 5x2 - 3x - 2 = 0 b) 3x2  + 55 = 0 c) x2 - 6x = 0 d) x2 - 10x + 25 = 0  Resposta a: a = 5 ; b = -3 ; c = -2 Equação completa Resposta b: a = 3 ; b = 0 ; c = 55 Equação incompleta Resposta c: a = 1 ; b = -6 ; c = 0 Equação incompleta Resposta d: a = 1 ; b = -10 ; c = 25 Equação completa 2) Achar as raízes das equações: a) x2 - x - 20 = 0 b) x2 - 3x -4 = 0 c) x2 - 8x + 7 = 0 Resposta a: (1 ) / 2=  (1 9) / 2 1+9 / 2 = 5 1-9 / 2 = - 4 x' = 5 e x'' = -4 Resposta b: (3 ) / 2 = (3 5) / 2 3 + 5 / 2 = 4 3 - 5 / 2 = -1 x' = 4 e x'' = -1 Resposta c: (8 ) / 2 = (8 6) / 2 8 + 6 / 2 = 7 2 / 2 = 1 x' = 7 e x'' = 1 3) Dentre os números -2, 0, 1, 4, quais deles são raízes da equação x2-2x-8= 0? Sabemos que são duas as raízes, agora basta testarmos. (-2)2 - 2*(-2) - 8 = 0 (-2)2 + 4 - 8 4 + 4 - 8 = 0 (achamos uma das raízes) 02 - 2*0 - 8 = 0 0 - 0 - 8 0 12 - 2*1 - 8 = 0 1 - 2 - 8 0 42 - 2*4 - 8 = 0 16 - 8 - 8 = 0 (achamos a outra raíz) 4) O número -3 é a raíz da equação x2 - 7x - 2c = 0. Nessas condições, determine o valor do coeficiente c:(-3)² - 7*(-3) - 2c = 0 9 +21 - 2c = 0 30 = 2c c = 15 5) Se você multiplicar um número real x por ele mesmo e do resultado subtrair 14, você vai obter o quíntuplo do número x. Qual é esse número?x²-14 = 5x x² - 5x -14 = 0 (5 ) / 2 = (5 9) / 2 5 + 9 / 2 = 14/2 = 7 5 - 9 / 2 = -2 x = 7 ou -2