Teoria dos conjuntos *

Janildo Arantes março 31, 2010
Teoria dos conjuntos é a teoria matemática que trata das propriedades dos conjuntos. Ela tem sua origem nos trabalhos do matemático russo Georg Cantor (1845–1918), e se baseia na ideia de definir conjunto como uma noção primitiva. Também chamada de teoria ingênua ou intuitiva devido à descoberta de várias antinomias (ou paradoxos) relacionadas à definição de conjunto. Estas antinomias na teoria dos conjuntos conduziram a matemática a axiomatizar as teorias matemáticas, com influências profundas sobre a lógica e os fundamentos da matemática.

Origem


Georg Cantor.
A teoria teve seu início com a publicação em 1874 de um trabalho de Cantor que tratava sobre a comparação de coleções infinitas. O trabalho apresentava uma forma de comparar conjuntos infinitos pelo "casamento" 1-1 entre os elementos destes conjuntos.
Desde 1638, com Galileu Galilei, sabe-se que se pode obter uma correspondência 1-1 entre os números inteiros e seus quadrados, o que violava a concepção euclidiana de que o todo é sempre maior que qualquer uma de suas partes.
Esta aplicação da correspondência 1-1 permitiu a Cantor introduzir um método de diagonalização, que por contradição, permitia provar que o conjunto dos números reais não tinha correspondência 1-1 com o conjunto dos números inteiros. Isto, mais tarde, levou ao desenvolvimento do conceito de contínuo por Richard Dedekind.
Iniciando com estas descobertas, Cantor acabou desenvolvendo uma teoria dos conjuntos abstratos, que constitui-se em uma generalização do conceito de conjunto.

Conjunto

Na teoria dos conjuntos, um conjunto é descrito como uma coleção de objetos bem definidos. Estes objetos são chamados de elementos ou membros do conjunto. Os objetos podem ser qualquer coisa: números, pessoas, outros conjuntos, etc. Por exemplo, 4 é um número do conjunto dos inteiros.
Como pode ser visto por este exemplo, os conjuntos podem ter um número infinito de elementos.

Relações

  • Se x é um membro de A, então também é dito que x pertence a A, ou que x está em A. Neste caso, escrevemos x \in A. (O símbolo "\in" é derivado da letra grega épsilon, "ε", introduzida por Giuseppe Peano em 1888). O símbolo \notin é às vezes usado para escrever x \notin A, ou "x não pertence a A".
Dois conjuntos A e B são iguais quando possuem precisamente os mesmos elementos, isto é, se cada elemento de A é um elemento de B e cada elemento de B é um elemento de A. Um conjunto é completamente determinado por seus elementos; a descrição é imaterial. Por exemplo, o conjunto com os números 2, 3 e 5 é igual ao conjunto de todos os números primos menores que 6. Se A e B são iguais, então é representado simbolicamente por A = B (como de costume).
Também é permitido um conjunto vazio, muitas vezes representado pelo símbolo \varnothing: um conjunto sem elementos. Já que um conjunto é determinado completamente por seus elementos, pode haver apenas um conjunto vazio.
  • Se A é um subconjunto do conjunto B, diz-se que A está contido em B. Neste caso, escreve-se A\subsetB. Já o símbolo ⊄ é usado para escrever A ⊄ B, ou "o conjunto A não está contido no conjunto B".

Paraíso

A força desta Teoria é exemplificada pela frase de David Hilbert: "Ninguém pode nos expulsar do Paraíso criado por Cantor". (ver em Wikiquote)
Por exemplo, para definir o conceito de número cardinal, tendo a definição de função, basta definir:
A é um número cardinal quando \forall x, y \in A \exists f: x \rarr y, sendo f uma função bijetiva
Em outras palavras, o número cardinal "10" é o conjunto formado por todos os conjuntos de 10 elementos. O número zero é o conjunto de todos os conjuntos vazios, ou seja, 0 = \varnothing\ , define-se "1" como:
1 = \{ x | \exists y \in x \and \forall y, z \in x \rarr y = z\}
e, a partir da definição de interseção e união, define-se x + y como o conjunto formado pelas uniões disjuntas dos elementos de x e y.

Crítica

A Teoria dos Conjuntos de Cantor, apesar de fornecer uma poderosa ferramenta para construir toda a matemática em uma base axiomática, não resistiu muito tempo. O paradoxo de Russell, que consiste em definir o conjunto M=\{A\mid A\not\in A\} e depois fazer a pergunta M \in M \ ou \ M \not\in M \ ?, é a contradição mais famosa da teoria. Por causa desses paradoxos, outras teorias foram propostas.

Teoria dos Conjuntos de Zermelo-Fraenkel

Nesta teoria, cujo nome menciona os matemáticos Ernst Zermelo e Abraham Fraenkel, só existe um tipo de conjunto: aqueles cujos elementos também são conjuntos. Em outras palavras, no Universo só existem conjuntos, a relação \in entre conjuntos, e tudo que pode ser definido através da lógica e dos axiomas.
Por exemplo, não existe um conjunto { a, b, c }, porque a, b ou c não são conjuntos; mas podemos definir pelos axiomas s(x) = x \cup \{ x \}\,, e, em seguida:
0=\varnothing,
1=s(0)=\{\varnothing\}=\{0\},
2=s(1)=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}=\{0,1\},
3=s(2)=\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}=\{0,1,2\}
e assim por diante de forma a termos alguns números naturais.
Esta teoria evita alguns paradoxos, mas deixa várias perguntas sem resposta, tais como a hipótese do contínuo.

=======================================================

Conjunto

A \subseteq B

A \cap B

A \cup B

A \setminus B
Na matemática, um conjunto é uma coleção de elementos. Nos conjuntos, a ordem e a quantidade de vezes que os elementos estão listados na coleção não é relevante. Em contraste, uma coleção de elementos na qual a multiplicidade, mas não a ordem, é relevante, é chamada multiconjunto.

Introdução

Um conjunto é considerado um dos conceitos mais básicos da matemática, sendo o elemento principal da teoria dos conjuntos. Um conjunto é apenas uma coleção de entidades, chamadas de elementos. A notação padrão lista os elementos separados por vírgulas e delimitados por chaves (o uso de "parênteses" ou "colchetes" é incomum e, em determinados contextos, considerado incorreto) como os seguintes exemplos:
\left\{1, 2, 3 \right\}\,\!
\left\{1, 2, 2, 1, 3, 2\right\}\,\!
\left\{ x\,|\,x \mbox{ é um número inteiro tal que } 0 < x < 4 \right\}
Os três exemplos acima são maneiras diferentes de representar o mesmo conjunto.
É possível descrever o mesmo conjunto de diferentes maneiras: listando os seus elementos (ideal para conjuntos pequenos e finitos) ou definindo uma propriedade de seus elementos (o que, se for feito de forma descuidada, pode gerar problemas, tais como o paradoxo de Russell).
Dizemos que dois conjuntos são iguais se e somente se cada elemento de um é também elemento do outro.

Terminologia

Conceitos essenciais

  • Conjunto: representa uma coleção de objetos, sempre representado por letras maiúsculas;
  • Elemento: qualquer um dos componentes de um conjunto, geralmente representado por letras minúsculas;
  • Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto;

Pertence ou não pertence

Se a é um elemento de A, nós podemos dizer que o elemento a pertence ao conjunto A e podemos escrever a \in A . Se a não é um elemento de A, nós podemos dizer que o elemento a não pertence ao conjunto A e podemos escrever a \not\in A.

Subconjuntos próprios e impróprios

Se A \,\! e B \,\! são conjuntos e todo o elemento x \,\! pertencente a A \,\! também pertence a B \,\!, então o conjunto A \,\! é dito um subconjunto do conjunto B \,\!, denotado por A \subseteq B. Note que esta definição inclui o caso em que A e B possuem os mesmos elementos, isto é, são o mesmo conjunto (A = B). Se A \subseteq B e ao menos um elemento pertencente a B \,\! não pertence a A \,\!, então A \,\! é chamado de subconjunto próprio de B \,\!, denotado por A \subset B. Todo conjunto é subconjunto dele próprio, chamado de subconjunto impróprio.

Conjunto vazio

Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio representado por { } ou \emptyset.
Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não pertence ao conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos.

União, interseção e diferença

Ver artigo principal: União
A união (ou reunião) de dois conjuntos A \,\! e B \,\! é o conjunto A \cup B composto dos elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos A \,\! e B \,\!.
A união de N conjuntos S = S_1 \cup S_2 \cup S_3 \cdots \cup S_N = \cup_{i=1}^N S_i é o conjunto formado pelos os elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos S_i \,\!.
Ver artigo principal: Interseção
A interseção de dois conjuntos A \,\! e B \,\! é o conjunto A \cap B composto dos elementos que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos A \,\! e B \,\!.
A diferença entre dois conjuntos A \,\! e B \,\! é o conjunto de todos os elementos de A \,\! que não pertencem a B \,\!.

Cardinalidade

Se um conjunto tem n elementos, onde n é um número natural (possivelmente 0), então diz-se que o conjunto é um conjunto finito com uma cardinalidade de n ou número cardinal n.
Mesmo se o conjunto não possui um número finito de elementos, pode-se definir a cardinalidade, graças ao trabalho desenvolvido pelo matemático Georg Cantor. Neste caso, a cardinalidade poderá ser \aleph_0 (aleph-0), \aleph_1, \aleph_2 ....
Nos dois casos a cardinalidade de um conjunto A é denotada por | A | . Se para dois conjuntos A e B é possível fazer uma relação um-a-um entre seus elementos, então | A | = | B | .

Conjunto potência ou de partes

O conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto dado A é chamado de conjunto potência (ou conjunto das partes) de A, denotado por P(A)\,\!. O conjunto potência é uma álgebra booleana sobre as operações de união e interseção.
Sendo o conjunto dado A finito, com n elementos, prova-se que o número de subconjuntos ou o número de elementos do conjunto potência ou conjunto das partes de A é 2n, ou seja, a cardinalidade do conjunto das partes de A é igual a 2n. Como existe uma bijecção entre o conjunto das partes de A e o conjunto {0,1}A, é usual representar-se P(A) por 2^A\,\!.
O Teorema de Cantor estabelece que |A| < |P(A)|\,\!.

Produto cartesiano

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de pares ordenados:
A \times B= \{(a,b) : a \in A \and b \in B\}
A soma ou união disjunta de dois conjuntos A e B é o conjunto
A + B = A \times \{0\} \cup B \times \{1\}.

Notação dos conjuntos

Os conjuntos são representados de diversas formas:
  • A forma mais usual é a que apresenta os elementos entre duas chaves ({});
  • As propriedades ou descrições de um conjunto são representadas dentro das {}, após os elementos e separadas destes por :;
  • Diagrama de Venn-Euler: é a representação gráfica dos conjuntos, através de entidades geométricas.

Exemplos de conjuntos compostos por números

Nota: Nesta seção, a, b e c são números naturais, enquanto r e s são números reais.
  1. Números naturais são usados para contar. O símbolo \mathbb{N} usualmente representa este conjunto. Na literatura matemática, é possível encontrar textos que incluem o zero como número natural e textos que não incluem.
  2. Números inteiros aparecem como soluções de equações como x + a = b. O símbolo \mathbb{Z} usualmente representa este conjunto (do termo alemão Zahlen que significa números).
  3. Números racionais aparecem como soluções de equações como a + bx = c. O símbolo \mathbb{Q} usualmente representa este conjunto (da palavra quociente).
  4. Números algébricos aparecem como soluções de equações polinomiais (com coeficientes inteiros) e envolvem raízes e alguns outros números irracionais. O símbolo \mathbb{A} ou \bar{\mathbb{Q}} usualmente representa este conjunto.
  5. Números reais incluem os números algébricos e os números transcendentais. O símbolo \mathbb{R} usualmente representa este conjunto.
  6. Números imaginários aparecem como soluções de equações como x 2 + r = 0 onde r > 0. O símbolo \mathbb{I} usualmente representa este conjunto.
  7. Números complexos é a soma dos números reais e dos imaginários: r + s\imath. Aqui tanto r quanto s podem ser iguais a zero; então os conjuntos dos números reais e o dos imaginários são subconjuntos do conjunto dos números complexos. O símbolo \mathbb{C} usualmente representa este conjunto.
=======================================================

Multiconjunto
Matematicamente, um multiconjunto é a generalização de um conjunto, de tal forma que permite a repetição de elementos.
Por exemplo, M = {a, b, c, c, d, e, e} é um multiconjunto distinto de X = {a, b, c, d, e}, mas se M e X fossem conjuntos, teríamos M=X.

Definição formal

Um multiconjunto é definido como um par (A,m), onde A é um conjunto qualquer, e m: A \rightarrow \mathbb{N} a função que associa a cada elemento de A um número natural, onde consideramos a definição de números naturais que não contêm o zero, ou seja \mathbb{N} = \{1,2,3, ... \}.
A multiplicidade de um elemento a é definido como m(a).
Representamos um multiconjunto com a mesma notação que usamos para conjuntos, mas citamos m(i) vezes um elemento i do multiconjunto.
Por exemplo, o multiconjunto M com o par (A, m), tal que A = {a,b,c,d,e} e m(a)=1, m(b)=1, m(c)=2, m(d)=1, m(e)=2, é representado por M = {a,b,c,c,d,e,e}. A ordem dos elementos, assim como nos conjuntos, não importa.
Como os multiconjuntos são uma generalização de conjuntos, um multiconjunto B é um conjunto quando m(i) = 1 para todo i \in B.

Exemplos

Multiconjuntos aparecem naturalmente em vários contextos:
  • Na fatoração: a forma natural de se expressar a fatoração de um número natural ou um polinômio é através de multiconjuntos. Por exemplo, os fatores primos de 12 são {2, 2, 3}, e os fatores primos de 18 são {2, 3, 3}.
  • A solução de uma equação polinomial é um multiconjunto, já que é importante indicar a multiplicidade de cada raiz.

Cardinalidade de um multiconjunto

A cardinalidade de um multiconjunto M = (A,m) é definida como:
\sum_{i \in A} m(i) .

 Seleção com repetição

Em análise combinatória, multiconjunto é uma seleção com repetição. Em uma seleção em combinatória, a ordem não é importante.
Para calcular o número de multiconjuntos com k elementos escolhendo entre n tipos de elementos.
\left\langle \begin{matrix}n \\ k \end{matrix}\right\rangle =CR^{k}_{n} = C^{k}_{n+k-1} = {n + k -1 \choose k} =\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}={n+k-1 \choose n-1}
Exemplos
1-Quantos tipos de dominós existem com números de 0 a 7?
É só selecionar dois dos 8 números possíveis. Neste caso os espaços nos dominós são iguais.
\left\langle \begin{matrix}8 \\ 2 \end{matrix}\right\rangle = {8 + 2 -1 \choose 2} =\frac{(8+2-1)!}{2!(8-1)!}=\frac{9!}{2!(7)!}=36
2-De quantas formas podemos distribuir 18 bolas iguais em 4 caixas diferentes?
Podemos considerar a seqüência seguinte:
\bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \mid \bullet \bullet \mid \bullet \bullet \bullet \mid \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet
Que é o mesmo que achar o número de soluções para a equação:
X4 + X3 + X2 + X1 = 18, Xi = número de bolas da i-ésima caixa
Equivale a escolher 18 caixas entre 4, já que pode repetir. Então
\left\langle \begin{matrix}4 \\ 18 \end{matrix}\right\rangle = {18+4-1 \choose 18} = \frac{(21)!}{18!(21-18))!}=\frac{(21)!}{3!(18)!}=1330
Outra forma de resolver esse problema é observando a figura acima. Há 18 bolas e 3 barras verticais indicando quatro caixas, cada uma em uma posição. Podemos permutar os termos que no total são 18+4-1 (18 bolas e 3 barras) e descontar as repetições já que as bolas são iguais e as barras também. Fazendo permutação de elementos iguais.
\frac{(21)!}{3!(18)!}=1330
=====================================================================

Hiperconjunto



Em ZFC sem o axioma da regularidade, a possibilidade de infundados conjuntos surgem. Estes conjuntos, se existem, são também chamados hiperconjuntos. Claramente, se A ∈ A, então A é um hiperconjunto.
Em 1988, Peter Aczel publicou um trabalho influente, Non-Well-Founded Sets (Conjuntos Não-Bem-Fundados). A teoria dos hiperconjuntos tem sido aplicada à ciência computacional (processamento algébrico e semântica limite), linguística (teoria da situação), e filosofia (trabalho sobre o paradoxo de Liar).

Tipos

Três distinctos anti-fundamentos axiomáticos são bem conhecidos:
  1. AFA ("Axioma do Anti-Fundamento") — atribuído a M. Forti e F. Honsell, e também conhecido como axiona anti-fundação de Aczel;
  2. FAFA ("AFA de Finsler") — atribuído a P. Finsler;
  3. SAFA ("AFA de Scott") — atribuído a Dana Scott.
O primeiro destes, i.e. AFA, é baseado em gráficos de pontos acessíveis(apg) e afirma que dois conjuntos são iguais se e apenas se podem ser representados (figurados) pelo mesmo apg. Dentro deste dominio (framework), pode ser demonstrado que o chamado átomo de Quine, formalmente definido por Q={Q}, existe e é único.
Vale a pena enfatizar que a teoria dos hiperconjuntos é uma extensão da teoria clássica mais do que uma inovação: Os bem-fundandos conjuntos dentro de um domínio no qual os hiperconjuntos também existem conforman-se à teoria clássica dos conjuntos.

Referências gerais

Aczel, Peter (1988), Non-well-founded sets., CSLI Lecture Notes, 14, Stanford, CA: Stanford University, Center for the Study of Language and Information, pp. xx+137, Predefinição:MR, ISBN 0-937073-22-9
http://pt.wikipedia.org/
Tags:

Postar um comentário

0 Comentários