GEOMETRIA ESPACIAL: TRONCO DE PIRÂMIDE

GEOMETRIA ESPACIAL: TRONCO

1. (Ufscar 2003) Em uma lanchonete, um casal de namorados resolve dividir uma taça de milk shake com as dimensões mostradas no desenho.

a) Sabendo-se que a taça estava totalmente cheia e que eles beberam todo o milk shake, calcule qual foi o volume, em mL, ingerido pelo casal. Adote ™ = 3.

b) Se um deles beber sozinho até a metade da altura do copo, quanto do volume total, em porcentagem, terá bebido?

2. (Fuvest 96) As bases de um tronco de cone circular reto são círculos de raio 6cm e 3cm. Sabendo-se que a área lateral do tronco é igual à soma das áreas das bases, calcule:

a) a altura do tronco de cone.

b) o volume do tronco de cone.

3. (Unesp 89) Secciona-se o cubo ABCDEFGH, cuja aresta mede 1m, pelo plano BDE, passando por vértices do cubo e pelo plano IJK, passando por pontos médios de lados do cubo, como na figura a seguir. Calcule o volume do tronco de pirâmide IJKDBE, assim formado.

4. (Ufpe 95) Um cone circular reto, com altura igual a 60cm, é interceptado por um plano perpendicular ao seu eixo, resultando numa circunferência de raio igual a 40cm. Se a distância deste plano à base do cone é de 30cm, quanto mede o raio, em cm, da base do cone?

5. (Ufpe 95) Na figura a seguir, o segmento PQ está contido na reta de equação cartesiana x+y=2. Seja V cm¤ o volume do sólido obtido ao girarmos a região hachureada, através de uma rotação de 360°, em torno do eixo Oy. Ache o inteiro mais próximo de V.

6. (Ufpe 95) Quatro bolas esféricas de raio 3Ë2/2cm cada, estão dispostas sobre uma mesa plana de forma que seus centros formam um quadrado de lado igual a 3Ë2cm. Uma quinta bola, de mesmo raio, é colocada sobre estas quatro bolas tangenciando as mesmas. Seja ™ o plano que é tangente a esta quinta bola e paralelo à mesa. Se d, em cm, é a distância do plano ™ à mesa, determine o valor de (Ë2-1)d.

7. (Cesgranrio 91) Uma ampulheta é formada por dois cones de revolução iguais, com eixos verticais e justapostos pelo vértice, o qual tem um pequeno orifício que permite a passagem de areia da parte de cima para a parte de baixo. Ao ser colocada para marcar um intervalo de tempo, toda a areia está na parte de cima e, 35 minutos após, a altura da areia na parte de cima reduziu-se à metade, como mostra a figura. Supondo que em cada minuto a quantidade de areia que passa do cone de cima para o de baixo é constante, em quanto tempo mais toda a areia terá passado para a parte de baixo?

a) 5 minutos.

b) 10 minutos.

c) 15 minutos.

d) 20 minutos.

e) 30 minutos.

8. (Ita 97) A altura e o raio da base de um cone de revolução medem 1cm e 5cm respectivamente. Por um ponto do eixo do cone situado a d cm de distância do vértice, traçamos um plano paralelo à base, obtendo um tronco de cone. O volume deste tronco é a média geométrica entre os volumes do cone dado e do cone menor formado. Então d é igual a

a) ¤Ë[(2 - Ë3)/3]

b) ¤Ë[(3 - Ë5)/2]

c) ¤Ë[(3 + Ë5)/2]

d) Ë[(3 - Ë2)/2]

e) Ë[(2 - Ë3)/3]

9. (Ita 97) Dentro de um tronco de pirâmide quadrangular regular, considera-se uma pirâmide regular cuja base é a base maior do tronco e cujo vértice é o centro da base menor do tronco. As arestas das bases medem a cm e 2a cm. As áreas laterais do tronco e da pirâmide são iguais. A altura (em cm) do tronco mede

a) (aË3)/Ë5

b) (aË35)/10

c) (aË3)/(2Ë5)

d) (aË35 )/Ë10

e) (aË 7)/Ë5

10. (Ufmg 97) Uma pirâmide regular tem altura 6 e lado da base quadrada igual a 4. Ela deve ser cortada por um plano paralelo à base, a uma distância d dessa base, de forma a determinar dois sólidos de mesmo volume. A distância d deve ser:

a) 6 - 3 ¤Ë2

b) 3 - (3 ¤Ë4/2)

c) 6 - 3 ¤Ë4

d) 6 - 2 ¤Ë2

11. (Unirio 97) O volume do sólido gerado pela rotação completa da figura a seguir, em torno do eixo e é, em cm¤:

a) 38 ™

b) 54 ™

c) 92 ™

d) 112 ™

e) 128 ™

12. (Unb 97) Os copos descartáveis, em geral, têm a forma de um tronco de cone, cuja superfície lateral pode ser planificada, dando origem a um setor de coroa circular, como ilustrado na figura adiante.

Representando por V o volume, em cm¤, do copo cujo setor de coroa circular tem ângulo interno de 216°, raio menor medindo 5 cm e raio maior medindo 10 cm, calcule, em centímetros cúbicos, o valor de V/™. Despreze a parte fracionária de seu resultado, caso exista.

13. (Unesp 99) A figura representa uma pirâmide com vértice num ponto E. A base é um retângulo ABCD e a face EAB é um triângulo retângulo com o ângulo reto no vértice A. A pirâmide apresenta-se cortada por um plano paralelo à base, na altura H. Esse plano divide a pirâmide em dois sólidos: uma pirâmide EA'B'C'D' e um tronco de pirâmide de altura H.

Sabendo-se que H=4cm, AB=6cm, BC=3cm e a altura h=AE=6cm, determine:

a) o volume da pirâmide EA'B'C'D';

b) o volume do tronco de pirâmide.

14. (Unb 99) Um reservatório de água, esquematizado na figura adiante, é constituído de um cilindro de 1m de raio e 3m de altura e de um tronco de cone, localizado em cima do cilindro, de raio da base igual a 1m e raio do topo igual a 2m. A altura total do reservatório é de 6m.

Sabendo que o volume do tronco de cone com altura j e raio da base de 1m, nas condições em que se encontra a parte superior do reservatório, é dado por VŒ=j™(j£+9j+27)/27, calcule, em m¤, a parte inteira de h¤, em que h é a altura do nível da água correspondente à metade da capacidade total do reservatório.

15. (Uff 99) Considere um cone equilátero de raio r e volume V. Seccionou-se este cone a uma distância h do seu vértice por um plano paralelo a sua base; obteve-se, assim, um novo cone de volume V/2.

Expresse h em termos de r.

16. (Uel 99) Considere o tronco de uma pirâmide regular de bases quadradas representado na figura a seguir.

Se as diagonais das bases medem 10Ë2cm e 4Ë2cm, a área total desse tronco, em centímetros quadrados, é

a) 168

b) 186

c) 258

d) 266

e) 284

17. (Ufrj 2000) Uma pirâmide regular tem base quadrada de área 4. Ela é seccionada por um plano paralelo à base de modo a formar um tronco de pirâmide de altura 2 e de base superior de área 1.

Determine o valor da aresta lateral do tronco de pirâmide.

18. (Ita 2000) Considere uma pirâmide regular com altura de 6/(¤Ë9)cm. Aplique a esta pirâmide dois cortes planos e paralelos à base de tal maneira que a nova pirâmide e os dois troncos obtidos tenham, os três, o mesmo volume. A altura do tronco cuja base é a base da pirâmide original é igual a

a) 2 (¤Ë9 - ¤Ë6) cm.

b) 2 (¤Ë6 - ¤Ë2) cm.

c) 2 (¤Ë6 - ¤Ë3) cm.

d) 2 (¤Ë3 - ¤Ë2) cm.

e) 2 (¤Ë9 - ¤Ë3) cm.

19. (Ufg 2000) A figura a seguir representa um tronco de cone, cujas bases são círculos de raios de 5cm e 10cm, respectivamente, e altura 12cm.

Considerando-se esse sólido,

( ) a área da base maior é o dobro da área da base menor.

( ) o volume é menor que 2000cm¤.

( ) o comprimento da geratriz AB é 13cm.

( ) a medida da área da superfície lateral é 195™cm£.

20. (Uel 2001) Considere uma pirâmide regular, de altura 25m e base quadrada de lado 10m. Seccionando essa pirâmide por um plano paralelo à base, à distância de 5m desta, obtém-se um tronco cujo volume, em m¤, é:

a) 200/3

b) 500

c) 1220/3

d) 1280/3

e) 1220

21. (Ufrrj 2001) Uma taça em forma de cone tem raio da base igual a 5cm e altura 10cm. Coloca-se champanhe em seu interior até que a altura, a partir do vértice da taça, atinja 5cm, conforme mostra a figura 1. Tampando-se a taça e virando-a para baixo, conforme mostra a figura 2, pergunta-se:

Em que altura (h), a partir da base do cone, ficará o nível do champanhe nessa posição?

Considere ¤Ë7 = 1,91

22. (Pucpr) Necessita-se confeccionar uma peça metálica dotada de um furo tronco-cônico, a partir de um cubo de lado "Ø", conforme a figura.

O volume de material para confeccionar a peça é:

a) Ø¤ [1 - (7™ / 48)]

b) (7™Ø¤) / 48

c) (7™Ø¤) / 16

d) (™Ø¤) / 16

e) Ø¤ [ 1 - (™ / 48)]

23. (Ufal 99) Na figura abaixo tem-se, apoiado no plano ‘, um cone circular reto cuja altura mede 8cm e cujo raio da base mede 4cm. O plano ’ é paralelo a ‘ e a distância entre os dois planos é de 6cm.

O volume do cone que está apoiado no plano ’ é, em centímetros cúbicos, igual a

a) ™/3

b) ™/2

c) 2™/3

d) 3™/4

e) 4™/5

24. (Puc-rio 2000) Considere um cone de altura 4cm e um tronco deste cone de altura 3cm. Sabendo-se que este tronco tem volume 21cm¤, qual o volume do cone?

25. (Uel 2000) O proprietário de uma fazenda quer construir um silo com capacidade para 770m¤, para armazenamento de grãos. O engenheiro encarregado do projeto mostrou-lhe o esquema do silo, composto de um cilindro acoplado a um tronco de cone, como mostra a figura a seguir.

Se, em seus cálculos, o engenheiro considerou ™=22/7, então a altura H do silo, em metros, é

a) 15

b) 16

c) 17

d) 18

e) 19

26. (Ufrrj 2000) Considerando um lustre de formato cônico com altura e raio da base igual a 0,25m, a distância do chão (H) em que se deve pendurá-lo para obter um lugar iluminado em forma de círculo com área de 25 ™m£, é de

a) 12m.

b) 10m.

c) 8m.

d) 6m.

e) 5m.

27. (Uff 2002) No teto de um centro de convenções será instalada uma luminária que terá a forma da figura a seguir, onde estão representados:

- o tronco de pirâmide reta NPQRUVST de bases retangulares;

- a pirâmide reta MNPQR de base retangular e altura igual a 1m;

- o ponto M localizado no centro do retângulo VSTU.

Sabe-se que UT=2m, UV=1m, NP=1m e PQ=0,5m.

Determine o volume do sólido exterior à pirâmide MNPQR e interior ao tronco de pirâmide NPQRUVST.

28. (Ufjf 2003) Uma taça em forma de um cone circular reto estava cheia de vinho até a borda. Depois de se ter tomado metade do vinho, a figura que melhor representa a quantidade de bebida que restou na taça é:

29. (Ufrn 2004) Numa experiência em sala de aula, são utilizados dois cilindros graduados com capacidade de um litro. Sabe-se que cada cilindro tem a altura igual ao dobro do diâmetro de sua base. Um dos cilindros está vazio e se encontra sobre a mesa, enquanto o outro, que está cheio de um líquido, será inclinado suavemente de modo que o líquido seja derramado dentro do primeiro. Veja ilustração na figura abaixo.

Se o líquido que foi derramado dentro do cilindro que está sobre a mesa marca 250 ml em sua graduação, podemos concluir que a maior inclinação ‘ ocorrida no outro cilindro é de

a) 60°.

b) 30°.

c) 35°.

d) 45°.

30. (Ufv 2004) Um copo, cujo interior tem o formato de um cone circular reto, estava cheio de licor. Ao degustar o licor, observou-se que, após o primeiro gole, a altura do líquido ficou reduzida à metade. O volume de licor ingerido no primeiro gole corresponde a uma fração do volume inicial. Sabendo que o volume do cone é dado por V(cone) = (™/3).(raio)£.altura, essa fração é:

a) 7/8

b) 5/9

c) 8/9

d) 3/8

e) 4/9

31. (Ufmg 2005) Observe esta figura:

Nessa figura, estão representados um cubo, cujas arestas medem, cada uma, 3 cm, e a pirâmide MABC, que possui três vértices em comum com o cubo. O ponto M situa-se sobre o prolongamento da aresta BD do cubo. Os segmentos MA e MC interceptam arestas desse cubo, respectivamente, nos pontos N e P e o segmento ND mede 1 cm.

Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que o volume da pirâmide MNPD é, em cm¤,

a) 1/6.

b) 1/4.

c) 1/2.

d) 1/8.

32. (Ufpe 2005) Na ilustração abaixo, temos um cilindro reto, medindo 30 cm de altura, preenchido por um líquido até certa altura e apoiado em uma superfície horizontal. Os pontos A e B são extremos de um diâmetro da base e B e C estão em uma mesma geratriz do cilindro. Quando inclinamos o cilindro, mantendo o ponto B na superfície, até que o nível de líquido esteja no ponto A, o nível em C fica a 10 cm do ponto B. Qual a altura do líquido quando o cilindro está na vertical?

a) 4 cm

b) 5 cm

c) 6 cm

d) 7 cm

e) 8 cm

33. (Ufrj 2005) Uma ampola de vidro tem o formato de um cone cuja altura mede 5 cm. Quando a ampola é posta sobre uma superfície horizontal, a altura do líquido em seu interior é de 2 cm (Figura 1).

Determine a altura h do líquido quando a ampola é virada de cabeça para baixo (Figura 2).

Lembrete:

volume do cone = [(área da base) × (altura)]/3

34. (Ufsc 2005) Na figura a seguir, o segmento de reta AE é paralelo ao segmento BF e o segmento de reta CG é paralelo ao segmento DH; o trapézio ABDC tem os lados medindo 2 cm, 10 cm, 5 cm e 5 cm, assim como o trapézio EFHG; esses trapézios estão situados em planos paralelos que distam 4 cm um do outro. Calcule o volume (em cm¤) do sólido limitado pelas faces ABFE, CDHG, ACGE, BDHF e pelos dois trapézios.

35. (Ufsc 2006) A base quadrada de uma pirâmide tem 144 m£ de área. A 4 m do vértice traça-se um plano paralelo à base e a secção assim feita tem 64 m£ de área. Qual a altura da pirâmide?

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GABARITO

1. a) 500 ml

b) 87,5%

2. a) 4 cm

b) 84 ™ cm¤

3. 7/48 m¤

4. 80 cm

5. 7

6. 3

7. [A]

8. [B]