Um método egípcio para multiplicar

Um método egípcio para multiplicar

(tópico 1)

É assim que costumamos multiplicar:
Figura 76

Mas nem sempre as multiplicações foram realizadas dessa maneira. Ao longo dos tempos, diferentes povos, em diferentes lugares, desenvolveram variadas técnicas para multiplicar. Os egípcios da Antiguidade, por exemplo, criaram um interessante processo usando duplicações sucessivas. Duplicar é dobrar, isto é, multiplicar por dois. Para expor o processo começaremos com alguns exemlplos simples. Antes, porém, uma observação: você já sabe como é que os egípcios escreviam os números (módulo 1), mas, nos exemplos a seguir, vamos escrevê-los usando o nosso sistema de numeração. Isto facilitará a compreensão. Vamos aos exemplos.

Multiplicar um número por quatro é dobrar o seu dobro, pois 4 = 2 x 2. Por exemplo, para obter 4 x 17 fazemos assim:

dobro de 17 = 34

dobro de 34 = 68

Deste modo: 4 x 17 = 68

Multiplicar um número por 8 é dobrar o dobro de seu dobro, uma vez que 8 = 2 x 2 x 2. Assim, para obter 8 x 21 fazemos:

dobro de 21 = 42

dobro de 42 = 84

dobro de 84 = 168

Portanto: 8 x 21 = 168

Veja mais este exemplo: 32 x 13 = ?

dobro de 13 = 2 x13 = 26

dobro de 26 = 2 x 26 = 4 x 13 = 52

dobro de 52 = 2 x 52 = 8 x 13 = 104

dobro de 104 = 2 x 104 = 16 x 13 = 208

dobro de 208 = 2 x 208 = 32 x 13 = 416

Portanto: 32 x 13 = 416

Deste modo, através de duplicações sucessivas é fácil multiplicar um número por 4, 8, 16, 32, 64, etc. (estes são os números que se obtêm multiplicando o 2 por ele mesmo sucessivas vezes). Mas, pelo jeito, este processo não permite obter, por exemplo, 14 x 23, uma vez que nenhum dos dois fatores é 4, 8, 16, 32, 64, etc.

Entretanto, há um modo de superar esta aparente impossibilidade! Para compreendê-lo você deve antes perceber o seguinte: os números que não fazem parte da seqüência 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, etc., podem sempre ser escritos como soma de alguns dos números que fazem parte dela. Por exemplo: o 3, que não é da seqüência, é a soma de 1 com 2, que são da seqüência. Outros exemplos:

11 = 8 + 2 + 1

36 = 32 + 4

88 = 64 + 16 + 8

Faça algumas experiências. Escreva um número qualquer, não pertencente á seqüência 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, etc, e depois procure escrevê-lo como soma de alguns dos números que fazem parte dela.

Voltemos aos exemplos:

No método egípcio, para multiplicar 14 por 23, primeiro escrevemos um dos dois fatores (14, por exemplo) como soma de números da referida seqüência:
14 = 8 + 4 + 2

A seguir, fazemos as duplicações sucessivas do 23:

2 x 23 = 46

4 x 23 = 2 x 46 = 92

8 x 23 = 2 x 92 = 184

Como 14 x 23 = (8 + 4 + 2) x 23 = 8 x 23 + 4 x 23 + 2 x 23,

resulta que 14 x 23 = 184 + 92 + 46.

Efetuando as adições teremos o resultado: 14 x 23 = 322.

Neste exemplo vamos "enxugar" as explicações.

Logo: 37 x 45 = 1665

Como exercício faça, por exemplo, 15 x 11 e 20 x 30 usando o método das duplicações sucessivas.

Talvez você tenha achado este processo complicado e muito trabalhoso. Essa reação é compreensível. Para nós, acostumados com a técnica usual da multiplicação, é natural acharmos complicada a técnica egípcia. Entretanto, para perceber que estas impressões são relativas, vale a pena fazer este exercício de ficção: imagine-se no Egito Antigo tentando explicar o nosso algoritmo da multiplicação a um jovem escriba, familiarizado com o modo egípcio de multiplicar. Qual seria a reação dele?

Mais uma observação: na lição do módulo 1, ao resumir as características de três sistemas de numeração, vimos que no sistema egípcio vale o princípio aditivo. Este caráter aditivo da numeração usada pelos egípcios reflete-se nos processos de cálculo que eles desenvolveram. Isto fica evidenciado no método que vimos: para multiplicar, depois das multiplicações sucessivas, faz-se uma adição.

Em qualquer sistema de numeração, as regras usadas para escrever os números influenciam as técnicas de cálculo. Assim, por exemplo, conforme visto neste curso, nas técnicas que usamos para calcular estão presentes as características do sistema de numeração indo-arábico, usados por nós.

Finalizamos este ítem com uma curiosidade: o processo egípcio talvez explique a origem da palavra multiplicar na língua latina, multi quer dizer vários eplicare significa dobrar. Assim, multiplicar é dobrar várias vezes.

Um método para multiplicar usado pelos árabes

(tópico 2)

Na leitura do módulo 1 contamos um pouco da história do nosso sistema numérico. Vimos a contribuição dos hindus e dos árabes na criação e difusão do mesmo. O algoritmo para multiplicar, que apresentaremos a seguir, era usado pelos árabes que, provavelmente, o aprenderam com os hindus. Você perceberá que ele é bastante parecido com o que usamos hoje.

Aqui está a multiplicação de 185 por 14:

Para compreender o processo vamos apresentá-lo passo a passo.

Desenhamos um retângulo dividido em retângulos menores. Em nosso exemplo temos 2 fileiras e 3 colunas de retangulozinhos porque 14 tem 2 algarismos e 185 tem 3 algarismos.
Traçamos diagonais dos retangulozinhos, como mostra a figura, obtendo esta grade.
A seguir multiplicamos os algarismos de um fator pelos algarismos do outro fator e registramos os resultados na grade. Observe a maneira de fazer o registro.
Agora, neste último passo, somamos os algarismos que estão numa mesma faixa diagonal. É preciso observar o "vai um".

Para compreender o funcionamento dessa técnica, procure compará-la com o nosso modo de multiplicar.

A seguir mais dois exemplos:

Como exercício, faça mais algumas multiplicações usando este processo que, como vimos, era empregado pelos árabes. Este método é também chamadogelosia ou método da grade.

Multiplicando com as mãos

(tópico 3)

Tobias Dantzig, no interessante livro que já lhe recomendamos, relata um curioso processo para fazer multiplicações com os dedos das mãos. Este método era usado, até pouco tempo, por camponeses de uma região da França. Eles sabiam de cor a tabuada até a do 5 e, para multiplicar números compreendidos entre 5 e 10, como por exemplo, 6 x 9 ou 7 x 8, usavam seus dedos. Vejamos como faziam para obter, por exemplo, 6 x 8.

Numas das mãos, abaixamos tantos dedos quantas unidades o 6 passa de 5; portanto abaixamos 1 dedo.

Na outra mão, abaixamos tantos dedos quantas unidades o 8 passa de 5; portanto abaixamos 3 dedos.

Somamos o número de dedos abaixados, exprimindo a soma em dezenas. No nosso caso temos 1 + 3 = 4 dezenas, isto é, 40 unidades.

A seguir multiplicamos os números de dedos levantados: 4 x 2 = 8 unidades.

Para obter o resultado final, somamos os valores encontrados: 40 + 8 = 48

De fato: 6 x 8 = 48!

Embora, para nós, este procedimento possa não ser prático, ele é, sem dúvida, curioso.

Use-o para obter, por exemplo, 7 x 8, 6 x 7, 7 x 9 e 6 x 9. Verifique que o método também vale para os fatores 5 e 10, que são os extremos do intervalo em que o processo pode ser usado.

A tabuada dos nove e os dedos das mãos

(tópico 4)

Há um modo interessante para se obter a tabuada do nove usando os dedos das mãos. Coloque as mãos abertas sobre a mesa.