Binômio de Newton - Coeficientes binomiais
Binômio de Newton - Coeficientes binomiais
Nos artigos anteriores em análise combinatória, tratamos de Binômios de Newton e sobre, como trabalhar com a fórmula do Binômio de Newton, e noutro artigo, também vimos a biografia de Niccolo Tartaglia,
um dos matemáticos mais promissores do século XVI, e também,
responsável pelos primeiros estudos sobre o número de combinações
possíveis para um determinado fenômeno. Deste artigo em diante vamos
trabalhar com algumas propriedades dos números binomiais, ou como alguns
autores preferem coeficientes binomiais. As propriedades sobre os
números binomiais serão divididas em três textos (aulas), cada uma com
desenvolvimentos da propriedade a que se refere o tema, além de
exercícios com resoluções detalhadas e gabarito no final do
texto.Começamos com o tema principal “número binomial”, e posteriormente
veremos “binomial complementar” e “binomial consecutivo”
respectivamente.
Números Binomiais :
Dados dois números naturais n e k , com n ≥ k , o número 
é chamado de número binomial, ou binomial n sobre k definido da seguinte forma:
é chamado de número binomial, ou binomial n sobre k definido da seguinte forma:
O número binomial também é chamado de coeficiente binomial.
O número n é o numerador do binomial e k é chamado classe do binomial. Observe os exemplos de alguns números binomiais.
Observações:
Como vimos Cn,0 é a quantidade de subconjuntos com 0 elementos que se
pode obter de um conjunto de n elementos. Com 0 elementos só existe um
subconjunto que é Ø
Exemplos:
E1-Exercícios:
1- Calcule:
GABARITO:
a) 56 b) 220 c) 190 d) 10 e) 1 f) 1 g) 1 h) n
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Por enquanto ficamos por aqui. Em breve mais atualizações, aguarde!
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Referências:
BACHX, A. de; POPPE, L. M. B.; TAVARES; RAYMUNDO N. O. – Prelúdio à Análise Combinatória. Companhia Editora Nacional. 1975
CARVALHO, P. C. P; LIMA, E. L.; MORGADO, A. C; WAGNER, E. – A Matemática
do Ensino Médio. Vol. 2. Coleção do Professor de Matemática. Sociedade
Brasileira de Matemática. 1998
CARVALHO, J. B. P; CARVALHO, P. C. P; FERNANDEZ, P; MORGADO, A. C de O. –
Análise Combinatória e Probabilidade. Coleção do Professor de
Matemática.
Binômio de Newton
Introdução
Pelos produtos notáveis, sabemos que (a+b)² = a² + 2ab + b².
Se quisermos calcular (a + b)³, podemos escrever:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Se quisermos calcular 
, podemos adotar o mesmo procedimento:
, podemos adotar o mesmo procedimento:
(a + b)4 = (a + b)3 (a+b) = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) (a+b)
= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
De modo análogo, podemos calcular as quintas e sextas potências e, de modo geral, obter o desenvolvimento da potência 
a partir da anterior, ou seja, de 
.
a partir da anterior, ou seja, de .
Porém quando o valor de n é grande, este processo gradativo de cálculo é muito trabalhoso.
Existe um método para desenvolver a enésima potência de um binômio,
conhecido como binômio de Newton (Isaac Newton, matemático e físico
inglês, 1642 - 1727). Para esse método é necessário saber o que são
coeficientes binomiais, algumas de suas propriedades e o triângulo de
Pascal.
Coeficientes Binomiais
Sendo n e p dois números naturais 
, chamamos de coeficiente binomial de classe p, do número n, o número 
, que indicamos por 
(lê-se: n sobre p). Podemos escrever:
, chamamos de coeficiente binomial de classe p, do número n, o número , que indicamos por (lê-se: n sobre p). Podemos escrever:
O coeficiente binomial também é chamado de número binomial. Por analogia
com as frações, dizemos que n é o seu numerador e p, o denominador.
Podemos escrever:
É também imediato que, para qualquer n natural, temos:
Exemplos:
http://www.somatematica.com.br/emedio/binomio/binomio.php
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