Permutações: Simples, de Repetição e Circulares

Um dos brinquedos mais procurados em qualquer parque de diversões é a montanha-russa. Com capacidade para cerca de 24 pessoas, são mais de 600 sextilhões de combinações possíveis para dispor os usuários, com uma simples permutação entre 24 lugares.

Permutação simples

Em um carro, além do motorista, podem ser transportados mais quatro passageiros: um no banco do carona, o famoso “lugar da frente”, e, no banco detrás, têm-se a posição da janela à esquerda, a posição central e a da janela à direita. De quantas maneiras diferentes podem ser dispostos quatro passageiros, não considerando o motorista, nas acomodações desse carro?

Analisadas inicialmente as possibilidades para o banco do carona, conclui-se que existem quatro. Fixando um passageiro nessa posição, restam três que poderão se acomodar, por exemplo, no banco de trás ao lado da janela da esquerda. Seguindo essa ideia, ou seja, fixando mais um passageiro nessa posição, restarão dois, que poderão, por exemplo, se acomodar no banco de trás, no centro. Fixando mais um, restará apenas um, que com certeza deverá se sentar no banco de trás na posição da janela da direita.

Pelo princípio multiplicativo, tem-se que o total de possibilidades é dado por 4 · 3 · 2 · 1 = 24 posições distintas no carro, desconsiderando o motorista. Cada uma das disposições tomadas é uma permutação simples dos lugares possíveis no carro.

Note que o total de permutações simples foi calculado aplicando-se o princípio multiplicativo que remeteu à notação de fatorial. Dessa forma:

Qualquer sequência formada a partir de todos os elementos de um conjunto com n elementos é chamada permutação simples. O total de permutações simples de um conjunto com essa quantidade de elementos é dado por: P_n = n!

Exemplo:

O presidente de uma grande empresa reserva todas as segundas-feiras de manhã para realizar uma reunião com todos os diretores. Considerando que existem cinco diretores nas mais diversas áreas dessa empresa, calcule de quantas maneiras essas seis pessoas (presidente e diretores) podem ser dispostos numa mesa não redonda. Esse é um típico caso de permutação simples. Para isso, basta calcular

P₆ = 6.5.4.3.2.1 = 720

Ou seja, o presidente e os diretores podem ser dispostos em uma mesa não redonda de 720 maneiras distintas.

Permutação com repetições

Verão, sol, calor. Não podia ser diferente: a família Shroder foi para o litoral e decidiu ficar lá seis dias. Embora a principal atividade fosse a praia, a família escolheu quatro atrações para se entreter no período da noite. São elas: cinema, feira de artes, sorveteria e parque de diversões. Como a família não gosta de ficar em casa, resolveu que iria duas vezes em duas das atrações. Depois de muito discutirem, escolheram o cinema e a feira de artes.

De quantas maneiras distintas pode ser feito o programa da família Shroder nesses seis dias?

Observe que, embora a família tenha saído seis vezes, o total de possibilidades será menor que 6, já que duas delas se repetem duas vezes cada. Nesse caso, não se trata mais de uma permutação simples.

Por exemplo, se as duas idas ao cinema fossem eventos distintos, isso resultaria em 2! novas possibilidades apenas pela permutação desses dois eventos. Como se trata de um mesmo evento, sua permutação não altera o programa. Sendo assim, é preciso “descontar” 2 possibilidades, ou seja, deve-se dividir o total de permutações simples por esse valor, ou seja, 6! por 2!. A mesma coisa ocorre para a feira de artes: deve-se dividir o total de possibilidades por 2!.

Dessa forma, o total de possibilidades distintas de programas é:

Note que das 6 possibilidades, 2 são cinema e 2 são feira de artes.

O número de permutações de n elementos, dos quais n, é de um tipo, n, é de um segundo tipo, …, n, é de um k-ésimo tipo, é denotado por P_n^{n1, n2, …,nk}, e é dado por
P_n^{n1, n2, …,nk}, = 

Exemplo:

Quantos anagramas podem ser formados com a palavra MATEMÁTICA?

Observe que são dez letras das quais uma delas se repete três vezes, caso da letra A, e outra que se repete duas vezes, o da letra T. Realizando o cálculo, tem-se:

Com a palavra MATEMÁTICA podem ser formados 302400 anagramas.

Permutação circular

Voltando ao exemplo da reunião que o presidente de uma grande empresa realiza todas as manhãs de segunda-feira com seus cinco diretores, se a mesa na qual é realizada a reunião for redonda, será que as possibilidades de dispor essas pessoas são as mesmas?

A resposta é não. Para visualizar essa situação, pense nas seis pessoas (A, B, C, D, E e F) ao redor da mesa e estabeleça uma ordem entre as 6 = 720 possibilidades, a priori, possíveis. Note que, por exemplo, as ordens ABCDEF, FABCDE, EFABCD, DEFABC, CDEFAB e BCDEFA são seis modos de descrevera mesma posição, pois obtém-se isso girando a mesa. Sendo assim, essas possibilidades devem ser “descontadas”, resultando em:

O número de possibilidades de dispor o presidente e os diretores numa mesa redonda é 120

Esse é um típico exemplo de permutação circular, cuja notação é dada por PC, e cuja definição é:

O número de permutações circulares de n elementos é dado por:

Por: Miguel de Castro Oliveira Martins

http://www.coladaweb.com/matematica/arranjos-e-permutacoes

1) Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentres essas pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo que o pai e a mãe fiquem juntos?

Sabendo que pai e mãe devem ficar juntos, vamos amarrar os dois e tratá-los como se fossem um único elemento. Veja a figura 1 abaixo:

Ao tratar o pai e mãe como um único elemento, passamos a ter somente 5 elementos. Portanto, utilizando a permutação circular de 5 elementos, calculamos o número de possibilidades desta família sentar-se ao redor da mesa com pai e mãe juntos sendo que o pai está à esquerda da mãe.

Permutação circular (P_c) de 5 elementos calcula-se:
P_c5 = (5-1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24

Portanto, para o pai a esquerda da mãe, temos 24 posições diferentes. Mas o pai pode estar a direita da mãe, como na figura 2, e então teremos mais 24 posições diferentes para contar (novamente P_c5).
Portanto, o número total de disposições é 48.

2) Dois meninos e três meninas formarão uma roda dando-se as mãos. De quantos modos diferentes poderão formar a roda de modo que os dois meninos não fiquem juntos?

No total temos 5 elementos para dispor em círculo, ou seja, novamente utilizaremos Permutação Circular. Mas agora a restrição é diferente, os dois meninos NÃO podem ficar juntos. Para esta situação, iremos calcular o número total de disposições (sem restrição) e diminuir deste resultado o número de disposições em que os meninos estão juntos (para calcular o número de disposições deles juntos, fazemos como no exercício 1).

O número total de disposições é P_c5 = (5 - 1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24.

Agora, para calcular o número de disposições com os meninos juntos, devemos amarrá-los e tratá-los como um único elemento, lembrando que podemos ter duas situações:

O número total de disposições com os meninos juntos é 2.P_c4  (4 elementos pois os meninos estão juntos e valem por 1). Calculando este valor:

2.P_c4 = 2.(4-1)! = 2.3! = 2.3.2.1 = 12

Portanto, o número de disposições em que os meninos não estão juntos é 24-12=12.

http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/faq_matematica/comb01_2.php 

Permutação simples, com repetição e circulares - exemplos e questões

Permutação simples -  definição, fórmula e exemplos

O conceito de permutar e de fatorar estão bem relacionados. Quando falamos de permutação já ligamos este pensamento à mistura dos elementos, troca de posições. Quando desejamos permutar alguns elementos, o faremos de forma completa, encontrando todas as posições possíveis de arranjar tais elementos.
Quando calculamos uma permutação, estamos calculando todas as possibilidades que existem para organizar os elementos de um determinado conjunto.
Vejamos um exemplo: De quantas maneiras diferentes podemos organizar um número com 4 algarismos (sem repeti-los) utilizando os algarismos 6,7,8,9?
Veja que há 4 possibilidades para dispor os números e 4 números para organizar. Com isso, podemos afirmar que estaremos utilizando todos os elementos disponíveis.
De tal modo, teremos 4 possibilidades para o primeiro algarismo do número, 3 possibilidades para o segundo algarismo, 2 possibilidades para o terceiro e 1 possibilidade para o quarto.
Ao multiplicarmos estas possibilidades, obteremos a seguinte expressão: 4*3*2*1=4!  (Este resultado nos dará a quantidade de possibilidades que temos para formar um número com 4 algarismos utilizando os números 6,7,8,9.)
Esta também é a definição de permutação que, por sua vez, é dada da seguinte forma:
Tem-se n elementos para permutá-los entre si. Com isso, a permutação simples destes n elementos distintos, é dada por:

Exemplo 2: De quantas maneiras distintas podemos colocar em fila indiana seis homens e seis mulheres:

a) em qualquer ordem

Podemos organizar as 12 pessoas de forma distinta, portanto utilizamos 12! = 12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 479.001.600 possibilidades
b) iniciando com homem e terminando com mulher

Ao iniciarmos o agrupamento com homem e terminarmos com mulher teremos: Seis homens aleatoriamente na primeira posição. Seis mulheres aleatoriamente na última posição.

P = (6*6) * 10! P = 36*10! P = 130.636.800 possibilidades

Exemplo 3: Determine o número de anagramas formados a partir da palavra ESCOLA.
Note que não temos nenhuma letra repetida, afinal, na permutação todos os elementos do conjunto devem ser distintos.
Com isso, o conjunto a ser permutado é o seguinte: {E,S,C,O,L,A}. 6 elementos que devem ser permutados entre si.

Vale ressaltar que a permutação é um caso particular do Arranjo, veja por que:

Quando analisamos o arranjo simples, no qual temos n elementos para combinar e, destes n elementos, pegamos todos eles, teremos justamente o caso da permutação.
Uma forma diferente na qual os problemas matemáticos podem aparecer é quando a quantidade de possibilidades de permutar os elementos é conhecida e se busca descobrir quantos elementos foram permutados, ou seja, trata-se de uma equação envolvendo permutação.
Exemplo:

Temos que encontrar o número cujo fatorial seja igual a 24. Uma forma prática (sem que seja necessário encontrá-lo por meio da sorte) é utilizar a fatoração do número 24 e depois escrever este número na forma de produto.

24=2*3*4   (Este produto te lembra algum número fatorial?)

Veja: 4!=4*3*2*1

Na fatoração do 24 não apareceu o número 1, entretanto sabemos que ao multiplicarmos por 1 não alteraremos em nada a igualdade, portanto podemos escrever o 24 da seguinte forma:

24=4*3*2*1=4!

Dessa maneira, temos que 4!=24, ou seja, o número de elementos permutados é 4.

Entretanto, existem outros exemplos que recaem em equações do segundo grau, vejamos um exemplo:


Temos que simplificar esta divisão:

Ao resolvermos esta equação, encontraremos o seguinte conjunto solução: S={-22,23}. Não é possível ter uma quantidade de elementos negativa, ou seja, a quantidade de elementos que satisfaz a igualdade inicial é quando n=23.

Permutação com repetição - conceito, fórmula e exemplos

Dentre os m elementos do conjunto C={x1,x2,x3,...,xn}, faremos a suposição que existem m1 iguais a x1, m2 iguais a x2, m3 iguais a x3, ... , mn iguais a xn, de modo que m1+m2+m3+...+mn=m.

Fórmula: Se m=m1+m2+m3+...+mn, então 

Pr(m)=C(m,m1).C(m-m1,m2). C(m-m1-m2,m3) ... C(mn,mn) 

Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as mesmas letras da palavra original trocadas de posição. 

Exemplo 1: Determine o número de permutações que podem ser feitas com as letras da palavra MATEMATICA.

Se as letras M, T e A fossem diferentes, teríamos as letras M₁, M_2, A₁, A₂, A₃, T₁, T₂, E, I, C e o total de permutações seria P₁₀ = 10!.

No entanto, as  permutações entre as 2 letras M não produzirão novo anagrama. Então precisamos dividir P₁₀ por P₂. O mesmo acontece com as 3 letras A e as 2 letras T. Portanto, o número de permutações  da palavra MATEMATICA é:

n = 10 (total de letras)

n₁ = 2 (número de letras M)

n₂ = 3 (número de letras A)

n₃ = 2 (número de letras T)

Exemplo 2: Quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARARAT. 
A letra A ocorre 3 vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses 3 elementos do conjunto C={A,R,T} em agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos que contêm a repetição de todos os elementos de C aparecendo também na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto: 

Pr={AAARRT,AAATRR,AAARTR,AARRTA,AARTTA,
AATRRA,AARRTA,ARAART,ARARAT,ARARTA,
ARAATR,ARAART,ARAATR,ATAARA,ATARAR} 

Exemplo 3: Quantos anagramas podem ser formados com a palavra ITALIANA, aplicando a permutação teremos:

Portanto, com a palavra ITALIANA podemos formar 3360 anagramas.

Permutação circular - definição, fórmula e exemplos

Permutação circular é uma permuta, troca, alternância que ocorre ao redor de uma mesa, em um círculo de pessoas, em uma roda de lual  ou qualquer outro evento que esteja em circulo! por que? porque numa mesa ou numa roda onde temos as “pessoas” A, B, C, D, E & F, há a possibilidade de permuta-las, porém algumas permutações não fazem diferença nenhuma!

ex.:

Nesse exemplo as pessoas A, B, C, D, E & F estão em posições diferentes, elas trocaram de posições, todavia a disposição delas a mesa ainda é a mesma coisa! esse tipo de permutação não é contada, nos eventos da permutação circular disposições iguais de uma roda ou de uma mesa não são contados, apenas os eventos que de fato são diferentes e que não equivalem a simplesmente girar as pessoas nas posições em que estão.

A fórmula da permutação circular é 

Exemplo 1:

De quantas maneiras 6 crianças podem dar as mãos para brincar de roda?

Basta fazer permutações circulares de 6, isto é:

P₆ = ( 6 - 1)! = 5! = 5.4.3.2.1 = 120

Exemplo 2:

 Pedro e Júlia são 2 crianças de um total de 8 que, de mãos dadas, brincam de roda. De quantas maneiras elas podem brincar ficando Ana e Pedro sempre lado a lado?

Devemos considerar Pedro e Júlia como uma única pessoa. Temos, portanto, 7 crianças que podem brincar de (7 - 1)! = 6! maneiras diferentes. Como Ana e Júlia podem estar lado a lado de duas maneiras diferentes (Pedro-Júlia, Júlia-Pedro), devemos multiplicar este número este número por 2. Assim, a reposta é:

2P₇ = 2.(7 - 1)! = 2. 6! = 2. 720 = 1 440.

Exemplo 3:

Número de maneiras que uma família de 5 pessoas podem se sentar em uma mesa com o pai e mãe juntos?
>> Vamos usar a mesma lógica da permutação simples, onde nós consideramos o pai e mãe como apenas um elemento: >> 5 pessoas = A B C D E que agora serão A B C D E (permutação circular de 4 elementos!)
>> (4-1)! = 3! >> masssss… nós precisamos considerar que o pai e a mãe estão juntos todavia ainda há uma permutação entre eles!!! 2! e devemos acrescentar essa parcela ao cálculo: >> (4-1)! . 2! >> ou seja pessoal! mesma lógica da permutação simples, contamos o evento da permutação circular e acrescentamos o evento permutação simples entre o pai e a mãe! >> 3!2! = 6.2 = 12

Fonte: www.alunosonline.com.br

            matematica.com.br

Questões resolvidas de vestibulares sobre permutação simples, com repetição e circular

1) Utilizando o nome COPACABANA, calcule o número de anagramas formados desconsiderando aqueles em que ocorrem repetições consecutivas de letras. 

Solução:
Os cartões poderão ser marcados de 60.060 maneiras diferentes.
2) Ao preencher um cartão da loteria esportiva, André optou pelas seguintes marcações: 4 coluna um, 6 coluna do meio e 3 coluna dois. De quantas maneiras distintas André poderá marcar os cartões? 
Solução:

3) Em uma prova composta de 20 questões envolvendo V ou F, de quantas maneiras distintas teremos doze respostas V e oito respostas F? 
Solução:

Podemos ter 125.970 maneiras distintas de respostas envolvendo doze questões V e oito F. 

4) De quantas maneiras diferentes pode ser preenchido um talão de loteria esportiva com 5 “coluna um” , 6 “coluna do meio” e 2 “coluna dois”?

Solução:

Seja:

5) De quantas maneiras distintas podemos colocar em fila indiana seis homens e seis mulheres em qualquer ordem ?

Solução:

Podemos organizar as 12 pessoas de forma distinta, portanto utilizamos

12! = 12 .11 . 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 479.001.600 possibilidades

6) (ITA) No sistema decimal,quantos números de cinco algarismos (sem repetição) podemos escrever,de modo que os algarismos 0(zero),2(dois) e 4(quatro) aparecem agrupados?

Obs: Considerar somente números de 5 algarismos em que o primeiro algarismo é diferente de Zero.

Solução: 

_ _ _ _ _  cinco algarismos.
_ _ 0 2 4

Para escolher os dois algarismos que faltam temos C7,2 possibilidades.
Como 0,2 e 4 devem estar juntos,podemos supor que são um só elemento ocupando uma só casa
_ _ 024

Levando em conta que o "pacote"024 pode mudar de posição e que os algarismos 0,2 e 4 podem mudar de posição entre si teremos:

C7,2*P3*P3=[(7*6)/2*]*6*6=756

Como os números não podem começar por zero devemos,porém,subtrair.
024_ _--->A7,2=42
042_ _--->A7,2=42

Restam,portanto,756-84=672=2^5*3*7

7) Quantos números diferentes podemos formar, permutando os algarismos do número 2248862?

8) quantos são os algarismos da palavra ESCOLA  que não tem duas vogais juntas?

9) Quantos são os anagramas da palavra MISSISSIPI que não possuem duas letras I juntas?

10) De quantos modos se podem sentar em fila,3 ingleses, 3 franceses e 3 turcos, de modo que não fiquem dois compatriotas juntos?

11)  (UFSCAR) Calcule o número de anagramas da palavra CLARA em que as letras AR parecem juntas nesta ordem.

a) 9!

b) 8!

c) 2.7!

d) 9! -7!

e) 7!

12) Deseja-se pintar uma bandeira, com 7 faixas verticais, dispondo de 3 cores, sem que se tenha duas faixas consecutivas da mesma cor. De quantas maneiras isto é possível?

Gabarito:

7) B      8) 72    9) 1050      10) 37584       11) B     12) C

 

 

 

http://questoesdevestibularnanet.blogspot.com.br/2013/07/permutacao-simples-com-repeticao-e.html