Equações Polares da Cardioide

1- Introdução

No sistema de coordenadas polares a cada ponto do plano podemos associar as coordenadas polares (r, t) onde r representa a distância de O (polo ou origem) a P e t representa o ângulo orientado, no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, desde o eixo polar até à semireta OP .

Ao conjunto dos pontos (r, t) do plano que verificam a equação F(r, t)=0 chama-se curva em coordenadas polares.

Na maioria dos casos é possível resolver a equação em ordem a r, tomando a forma explícita r = f(t)

2- Equações polares da cardioide

Vamos verificar que o gráfico de qualquer uma das equações polares seguintes, com a não nulo, é uma cardioide: r =a( 1+cos t), r =a(1- cos t),
r =a(1+sin t), r =a(1- sin t) .

Façamos, por exemplo a=1 e analisemos o gráfico de cada uma das equações.

r =a( 1 + cost)

> with(plots):

> setoptions(scaling=constrained);

> plot(1+cos(t), t=0..2*Pi,coords=polar, title=`Cardióide r =1+cost`);

Observe-se que o eixo polar (eixoOX) é o eixo de simetria da curva, a posição do maior eixo é sobre a parte positiva do eixo OX e o comprimento desse eixo é 2, ou seja, 2a.

r =a(1 - cost)

> plot(1-cos(t), t=0..2*Pi,coords=polar,title=`Cardióide r =1-cost`);

Observe que o eixo polar (eixoOX) é o eixo de simetria , a posição do maior eixo é sobre a parte negativa do eixo OX e o comprimento desse eixo é 2, ou seja, 2a.

r =a(1 + sint)

> plot(1+sin(t), t=0..2*Pi,coords=polar,color=green,title=`Cardióide r =1+sint`);

Observe que o eixo p/2(eixoOY ) é o eixo de simetria , a posição do maior eixo é sobre a parte positivado eixo OY e o comprimento desse eixo é 2, ou seja, 2a.

r =a(1 - sint)

> plot(1-sin(t), t=0..2*Pi,coords=polar,color=green,title=`Cardióide r =1-sint`);

Observe que o eixo p/2(eixoOY ) é o eixo de simetria , a posição do maior eixo é sobre a parte negativa do eixo OY e o seu comprimento é 2, ou seja, 2a.

3-Variação do parâmetro a

É agora natural questionarmo-nos acerca da variação produzida no gráfico da função quando, em cada uma das equações polares anteriores, se faz variar o parâmetro a.

Analisemos o gráfico de

r =a( 1 + cost)

> cardióide:=a+a*cos(t):

> plot([seq([cardióide,t,t=0..2*Pi],a=[1/2,1,2])],
coords=polar,color=[red,green,blue],thickness=2, title=`Família de Cardióides`);