Mas quando fizermos a dobra teremos que subtrair a área PQR que será uma interseção.
Assim:
A área do polígono APQCBRD (A Final) é igual à área do retângulo ABCD (A1) menos a área do triângulo PQR (A2):
A Final = A1 - A2 (Equação 1)
A1 = 2 cm × 10 cm
A1 = 20 cm²
Cálculo da área do triângulo PQR (A2):
Observações:
1 - A altura relativa ao lado QR é igual a 2 cm, pois é a altura do retângulo ABCD;
2 - A altura relativa ao lado PR é igual a 2 cm, pois é a altura do retângulo ABCD;
3 - Então, o triângulo PQR é isósceles (dois lados iguais) e o lado PQ é a sua base;
4 - Se obtivermos a medida do lado QR ou do lado PR, poderemos obter a área do triângulo (A2), pois conhecemos a sua altura (a altura seria de 2 cm). Para isto:
4.1. - Vamos considerar o trapézio APQD e, pelo ponto P, vamos traçar uma perpendicular ao lado DQ, obtendo nele o ponto M. Assim, APMD é um retângulo, AP = DM e, então,
MQ = DQ - AP
MQ = 5 cm - 4 cm
MQ = 1 cm
4.2. Como PMQ é um triângulo retângulo em M, com catetos conhecidos
PM = 2 cm
MQ = 1 cm, podemos obter o valor do ângulo MQP, aplicando a função trigonométrica tangente:
tg MQP = cateto oposto ÷ cateto adjacente
tg MQP = MP ÷ MQ
tg MQP = 2 ÷ 1
tg MQP = 2
ângulo MQP = 63,43º = ângulo RQP [Equação 2]
4.3. A base do triângulo PQR (PQ) também é hipotenusa do triângulo retângulo PQM e, aplicando o Teorema de Pitágoras a este triângulo (PQM), temos:
PQ² = PM² + MQ²
PQ² = 2² + 1²
PQ² = 5
PQ = √5
PQ = 2,236 cm
4.4. Vamos agora pelo ponto R traçar uma perpendicular ao lado PQ do triângulo PQR, obtendo na base PQ o ponto N, que divide a base em duas partes iguais:
PN = NQ = 2,236 ÷ 2
PN = NQ = 1,118 cm [Equação 3]
4.5. Assim, temos no triângulo retângulo RNQ conhecidos o ângulo RQN que é igual ao ângulo RQP obtido em [Equação 2] (63,43º), o ângulo RNQ que é reto (90º) e o cateto NQ, obtido em [Equação 3] (1,118 cm).
A medida do lado RQ deste triângulo, que é o valor que estamos procurando para obter a área do triângulo RQP (A2) pode ser então obtido se aplicarmos a função trigonométrica cosseno do ângulo RQN:
cos RQN = cateto adjacente ÷ hipotenusa
cos 63,43º = NQ ÷ RQ
RQ = NQ ÷ cos 63,43º
RQ = 1,118 cm ÷ 0,447
RQ = 2,50 cm (Isso era o que queríamos)
Finalmente, a área do triângulo PQR (A2) é igual a:
A2 = RQ × PM ÷ 2
A2 = 2,50 cm × 2 cm ÷ 2
A2 = 2,50 cm² (Essa é a área a ser subtraída da área original)
Como vimos lá no início, a área do polígono APQCBRD (Ax) é igual a:
Ax = A1 - A2
Ax = 20,00 cm² - 2,50 cm²
Ax = 17,50 cm², área do polígono APQCBRD
Alternativa correta letra (D), pois 35/2 = 17,5 cm²
Another Way:
BP = AB - AP ---> BP = 10 - 4 ---> BP = 6
AD = BC = 2
Seja E o pé da perpendicular de Q sobra o prolongamento AP: QE = 2 ---> PE = 6 - 5 ---> PE = 1
PQ² = PE² + QE² ---> PQ² = 1² + 2² ---> PQ² = 5 ---> PQ = √5
sen(P^QE) = QE/PQ ---> sen(P^QE) = 2/√5 ---> sen(P^QE) = 2.√5/5
R^PQ = 90º - P^QE ---> cos(R^PQ) = sen(P^QE) ---> cos(R^PQ) = 2.√5/5
Tente completar: a área procurada é a soma das áreas de dois trapézios
AD = BC = 2
Seja E o pé da perpendicular de Q sobra o prolongamento AP: QE = 2 ---> PE = 6 - 5 ---> PE = 1
PQ² = PE² + QE² ---> PQ² = 1² + 2² ---> PQ² = 5 ---> PQ = √5
sen(P^QE) = QE/PQ ---> sen(P^QE) = 2/√5 ---> sen(P^QE) = 2.√5/5
R^PQ = 90º - P^QE ---> cos(R^PQ) = sen(P^QE) ---> cos(R^PQ) = 2.√5/5
Tente completar: a área procurada é a soma das áreas de dois trapézios
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