19- O quadrado da figura ao lado tem lado medindo 6 cm. Determine a área da região colorida.

 19- O quadrado da figura ao lado tem lado medindo 6 cm. Determine a área da região colorida.



l = 6 cm

S (pintada) = ?



Vamos lá?

Temos um quadrado inscrito em uma circunferência.

Dizemos que um polígono é inscrito em uma circunferência quando todos os seus vértices são pontos da circunferência. A partir dessa definição, pode-se perceber que todos os lados de um polígono inscrito são cordas da circunferência.

Nota-se que o raio da circunferência é, obviamente, a metade da diagonal do quadrado.

Mas quanto vale essa diagonal?

Ora, a diagonal do quadrado vale

D = l√2

Dessa forma

R = l√2/2

Agora calculemos as duas áreas ;


S (pintada) = S (circunferência) - S (quadrado)

S (pintada) =  Π R² - l²

Mas
l = 6 cm 
R = l√2/2 e 
Π = 3,14

Dessa forma:


S (pintada) =  Π (l√2/2)² - l²
 

S (pintada) =  Π (2l²/4) - l²


S (pintada) =  3,14 * 2*36 cm²/4 - 36 cm²


S (pintada) =  3,14 *18 cm²  - 36 cm²

S (pintada) =  56,52 cm²  - 36 cm²

===================
S (pintada) =  20,52 cm²  
===================

Obs.:

S (pintada) =  Π (2l²/4) - l²

Caso queiras conservar o Π, podes fazer o seguinte:

S (pintada) =  Π (l²/2) - l²

S (pintada) = l² ( Π/2 - 1)

Como a letra l e o número 1 são parecidos:

S (pintada) = (ELE)² ( Π/2 - um)



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