Cálculo Integral | Um objeto é lançado para cima com uma velocidade, em pés por segundo, dada por v(t) = −32t + 64, de uma altura de 48 pés.

 







Cálculo Integral | Um objeto é lançado para cima com uma velocidade, em pés por segundo, dada por v(t) = −32t + 64, de uma altura de 48 pés.

1. Qual a velocidade máxima do objeto?

2. Qual o deslocamento máximo do objeto?

3. Em que momento ocorre o maior deslocamento do objeto?

4. Em que momento o objeto alcança a altura de O pés?

Dica: encontre o momento no qual o deslocamento é - 48 ft



Resposta


1.64 ft/s 

2.64ft 

3. t = 2


4. t = 2+√7≈ 4.65s. 



Analisando o Lançamento do Objeto:

1. Velocidade Máxima:

A velocidade máxima do objeto ocorre quando a sua aceleração é zero. A aceleração é dada pela derivada da velocidade, ou seja, a'(t) = -32. Como a aceleração é constante, ela é sempre zero.

Portanto, a velocidade máxima do objeto é a sua velocidade inicial, que é 64 pés por segundo.

2. Deslocamento Máximo:

O deslocamento máximo do objeto é a altura máxima que ele atinge. Para encontrar essa altura, precisamos calcular a integral da velocidade em relação ao tempo:

S(t) = ∫ v(t) dt = ∫ (-32t + 64) dt = -16t² + 64t + C

Para determinar a constante C, utilizamos a informação de que a altura inicial do objeto é de 48 pés:

S(0) = 48 = -16(0)² + 64(0) + C

C = 48

Assim, a função de deslocamento é:

S(t) = -16t² + 64t + 48

3. Momento do Maior Deslocamento:

O maior deslocamento ocorre quando a velocidade do objeto é zero. Isso acontece quando v(t) = 0, ou seja:

-32t + 64 = 0

t = 2

Portanto, o maior deslocamento do objeto ocorre em t = 2 segundos.

4. Momento em que o Objeto Alcança a Altura de 0 Pés:

Para encontrar o momento em que o objeto atinge a altura de 0 pés, precisamos resolver a equação:

S(t) = -16t² + 64t + 48 = 0

Essa equação é uma equação do segundo grau, que pode ser resolvida usando a fórmula de Bhaskara:

t = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Substituindo os valores de a, b e c, obtemos:

t = (-64 ± √(64² - 4 * -16 * 48)) / 2 * -16

t = (2 ± √(512 + 3072)) / -32

t = (2 ± √3584) / -32

As soluções são aproximadamente:

t1 = 0.53 segundos
t2 = 3.47 segundos

Interpretação dos Resultados:

  • O objeto atinge a altura máxima de 144 pés em t = 2 segundos.
  • O objeto atinge a altura de 0 pés duas vezes: em t1 = 0.53 segundos e em t2 = 3.47 segundos.

Lembre-se:

  • O cálculo integral é uma ferramenta poderosa para analisar o movimento de objetos.
  • A interpretação dos resultados é fundamental para entender o comportamento do objeto em questão.

Continue explorando o cálculo integral e suas aplicações na física!

Desafios Extras:

  • Analise o lançamento de um objeto com uma velocidade inicial diferente.
  • Encontre a altura máxima que um objeto pode atingir com uma velocidade inicial dada.
  • Crie seus próprios desafios e enigmas envolvendo o lançamento de objetos.

Divirta-se e expanda seus horizontes matemáticos!


JAMAL MALIK



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