Permutação Caótica: Uma Abordagem Detalhada

Permutação caótica

Permutação Caótica: Uma Abordagem Detalhada

Definição:

Uma permutação caótica, também conhecida como desarranjo, é uma permutação em que nenhum elemento está na sua posição original. Em outras palavras, todos os elementos são trocados de lugar.

Definição:

Definição: Considere n elementos colocados em uma certa ordem definindo uma sequência que denotaremos por (a1, a2, as,, ɑn).

Uma permutação dos elementos dessa sequência é dita uma Permutação Caótica ou um Desarranjo quando nenhum dos elementos a está na sua posição original, isto é, na i-ésima posição.

Denotaremos por D, o número de permutações caóticas de n elementos.Observe que o conceito de Permutação Caótica é relativo a uma disposição inicial que tomamos como referencial ou padrão. Além disso, o número D, não está associado ao tipo de elementos de uma sequência, mas sim às posições ocupadas por tais elementos. Dessa forma, é comum em alguns livros sobre o assunto que a definição de Permutação Caótica de n elementos se refira à sequência (1, 2, 3, ...,n).

$(1, 2, 3, \dots, n) .$

Exemplo:

Considere a sequência de números (1, 2, 3). Uma permutação caótica dessa sequência seria (3, 2, 1), onde nenhum dos números está na sua posição original.

Fórmula:

O número de permutações caóticas de um conjunto com n elementos pode ser calculado pela seguinte fórmula:

A nossa discussão inicial será sobre uma justificativa da fórmula para o número de permutações caóticas D, apresentada na Salainicial:

A nossa discussão inicial será sobre uma justificativa da fórmula para o número de permutações caóticas D, apresentada na Salainicial:1 1|Dn=n!.1 1+ 0! 1! 21 31+ +(-1)n n!

Onde:

Dn é o número de permutações caóticas
n! é o fatorial de n
n é o número de elementos no conjunto

Aplicações:

As permutações caóticas podem ser usadas em diversas áreas, como:

Combinatória: Para calcular o número de maneiras de distribuir objetos em caixas de forma que nenhum objeto fique na sua caixa original.
Criptografia: Para criar algoritmos de criptografia que embaralham dados de forma aleatória.
Jogos: Para determinar a ordem de jogadores em um jogo ou a ordem de cartas em um baralho.

Exemplos de problemas:

Problema do amigo secreto: Quantos modos diferentes existem de distribuir presentes em um amigo secreto, de modo que ninguém receba o presente de si mesmo?
Problema das cartas: Quantos modos diferentes existem de distribuir cartas em envelopes endereçados a destinatários diferentes, de modo que nenhuma carta seja colocada no envelope correto?

Recursos adicionais:

Artigo da OBMEP: https://m.youtube.com/watch?v=Nskn_JOnOtQ
Vídeo do YouTube: https://m.youtube.com/watch?v=ziLBD_rzeL8
Artigo da Wikipedia: https://www.dicio.com.br/desarranjo/

Observações:

O termo "permutação caótica" é mais utilizado no Brasil, enquanto "desarranjo" é mais utilizado em Portugal.
O conceito de permutação caótica é um conceito fundamental na matemática combinatória e tem diversas aplicações em diferentes áreas.