Association Kangourou Sans Frontières 2024 – Nível C (Cadet) - Questão 3

 


Resposta:

B)

Explicação:

A figura mostra uma curva de Koch. É uma curva fractal que pode ser construída com ladrilhos pentagonais, como mostrado na imagem.

Para construir a curva de Koch, siga estas etapas:

  1. Comece com um triângulo equilátero.
  2. Divida cada lado do triângulo em três segmentos iguais.
  3. Remova o segmento central de cada lado.
  4. Conecte os pontos médios dos segmentos removidos.
  5. Repita as etapas 2 a 4 para cada lado do triângulo restante.

Ao seguir estas etapas, você pode construir a curva de Koch a qualquer nível de detalhe.

Observação:

A curva de Koch é um fractal, o que significa que ela é autosimilar em diferentes escalas. Isso significa que, se você ampliar qualquer parte da curva, verá a mesma forma que a curva inteira.

As outras opções de resposta estão incorretas porque:

  • A) A curva na opção A não é uma curva de Koch. É uma curva formada por segmentos de reta conectados em ângulos retos.
  • C) A curva na opção C é uma curva de Koch, mas não está orientada da mesma forma que a curva na imagem.
  • D) A curva na opção D é uma curva de Koch, mas está faltando um segmento em cada lado do triângulo inicial.
  • E) A curva na opção E é uma curva de Koch, mas está construída com ladrilhos quadrados, e não com ladrilhos pentagonais.

Portanto, a única opção de resposta que corresponde à curva na imagem é a B).

Espero que esta explicação tenha sido útil!




A curva de Koch, também conhecida como floco de neve de Koch, é uma curva geométrica e um dos primeiros fractais a serem descritos. Ela foi criada pelo matemático sueco Helge von Koch em 1904 e se caracteriza por sua aparência complexa e intrincada, que se assemelha a um floco de neve.

A curva de Koch é construída através de um processo iterativo simples, dividindo segmentos de reta em partes menores e adicionando novos segmentos em ângulos específicos. A cada iteração, a curva se torna mais detalhada e intrincada, aproximando-se de um limite infinito.

Propriedades da Curva de Koch:

  • Autosimilaridade: Uma das características marcantes da curva de Koch é sua autosimilaridade. Isso significa que se você pegar qualquer parte da curva e ampliá-la, verá a mesma estrutura complexa da curva original. Essa propriedade é comum a todos os fractais.
  • Comprimento infinito: A curva de Koch tem um comprimento infinito, mesmo que ocupe uma área finita do plano. Isso ocorre porque a curva se torna cada vez mais detalhada à medida que se aproxima do limite, com infinitos segmentos se aproximando de pontos específicos.
  • Sem tangentes: A curva de Koch não possui tangentes em nenhum ponto. Isso significa que se você tentar desenhar uma linha reta que toque a curva em um único ponto, a linha sempre cruzará a curva em outro ponto.

Aplicações da Curva de Koch:

A curva de Koch tem diversas aplicações em matemática, física e computação gráfica. Algumas das aplicações incluem:

  • Modelagem de fenômenos naturais: A curva de Koch pode ser usada para modelar a forma de objetos naturais irregulares, como costas de mar, flocos de neve e cristais.
  • Compressão de dados: A autosimilaridade da curva de Koch pode ser usada para compactar imagens e outros dados.
  • Criação de imagens fractais: A curva de Koch é um dos fractais mais populares e é frequentemente usada para criar imagens fractais complexas e bonitas.

A curva de Koch é um exemplo fascinante da beleza e da complexidade dos fractais. Sua construção simples e suas propriedades matemáticas intrigantes a tornam um objeto de estudo interessante para matemáticos, físicos e artistas.

Se você quiser saber mais sobre a curva de Koch, aqui estão alguns recursos:

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