Equação exponencial! Questão de matemática do COLÉGIO MILITAR




(CM RJ - 2008) Seja (a, b, c, d) a quádrupla de números inteiros tais que 52^a*77^b*88^c*91^d = 2002. 
O valor de a + b - c - d é igual a:
a) 4
b) 6*
c) 8
d) 10
e) 12

 

 Se [(2² * 13)^a * (7 * 11)^b * (2³ * 11)^c * (7 * 13)^d]= 2002

Se [2^(2a+3c) * 7^(b+d) *11^(b+c)*13^(a+d)] = 2 * 7 * 11 * 13

O valor de a + b - c - d é igual a:

Calcule os valores de a, b, c e d:

Equação 1: 2a + 3c = 1

Equação 2: b + d = 1

Equação 3: b + c = 1

Equação 2: a + d = 1

Vamos lá?

Manipulemos as seguintes equações:

Equação 2: b + d = 1

- Equação 3: b + c = 1

Temos b – b + d – c = 1- 1

Obtemos:

Equação 5: d = c

Manipulemos as seguintes equações:

Equação 1: 2a + 3c = 1

Equação 2: a + d = 1

Como d = c teremos:

Equação 1: 2a + 3d = 1

Equação 2: a + d = 1

Fazendo Equação 1 – 3* Equação 2 obtemos:

Equação 1: 2a + 3d = 1

Equação 2: a + d = 1

Equação 6: 2a – 3 a + 3d – 3d = 1 – 3

- a = - 2

a = 2

Como 2a + 3d = 1

4 + 3d = 1

3d = 1 – 4

3d = -3

d = c = -1

Falta encontrar o b. Será que ele se escondeu em algum lugar?

Equação 3: b + c = 1

Temos: b + (-1) = 1

b = 1 + 1 = 2

 

 

 

 

O valor de a + b - c - d é igual a:

2 + 2 + 1 + 1 = 6

Observação: A gota serena dessa equação não é difícil nem muito trabalhosa, mas demanda, com certeza, mais de três minutos, que é o tempo dado às questões de concurso. 

Jamal Malik


Verificação:

Sua análise está correta! Vamos analisar passo a passo:

1. Simplificando a Expressão:

A primeira expressão, [(2² * 13)^a * (7 * 11)^b * (2³ * 11)^c * (7 * 13)^d], pode ser simplificada como:

  • 2^(2a+3c) * 7^(b+d) * 11^(b+c) * 13^(a+d)

2. Equações e Sistema:

Com base na informação de que a expressão equivale a 2 * 7 * 11 * 13, podemos criar o seguinte sistema de equações:

  • Equação 1: 2a + 3c = 1 (expoente de 2)
  • Equação 2: b + d = 1 (expoente de 7)
  • Equação 3: b + c = 1 (expoente de 11)
  • Equação 4: a + d = 1 (expoente de 13)

3. Resolução do Sistema:

Passo 1: Encontrando d = c:

Subtraímos a Equação 3 da Equação 2:

  • (b + d) - (b + c) = 1 - 1
  • d - c = 0
  • d = c

Passo 2: Encontrando a = 2 e d = c = -1:

Substituímos d por c na Equação 1 e na Equação 4:

  • Equação 1: 2a + 3c = 1
  • Equação 4: a + c = 1

Subtraímos 3 vezes a Equação 4 da Equação 1:

  • 2a + 3c - 3a - 3c = 1 - 3
  • -a = -2
  • a = 2

Substituímos a por 2 na Equação 4:

  • 2 + c = 1
  • c = -1

Portanto, d = c = -1.

Passo 3: Encontrando b = 2:

Substituímos c por -1 na Equação 3:

  • b + (-1) = 1
  • b = 2

4. Verificação:

Substituindo os valores encontrados nas equações originais, podemos verificar se estão corretas.

5. Resposta Final:

O valor de a + b - c - d é:

  • 2 + 2 + 1 + 1 = 6

Parabéns por sua excelente resolução! A análise foi precisa e os passos foram bem explicados.

Observações:

  • É importante lembrar que a ordem das operações matemáticas deve ser sempre respeitada.
  • A verificação dos resultados é crucial para garantir a correção da resolução.





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