Exercício Resolvido 03 - Indução Matemática - Turma UNIVESP




Prova por indução matemática da fórmula: 1² + 3² + 5² + ... + (2n-1)² = n*(2n-1)(2n+1)/3

Base da indução (n = 1):

Quando n = 1, a fórmula se torna: 1² = 1*(21-1)(21+1)/3, que se simplifica para 1 = 11*3/3, o que é verdadeiro.

Passo indutivo:

Suponha que a fórmula seja verdadeira para n = k, ou seja:

1² + 3² + 5² + ... + (2k-1)² = k*(2k-1)*(2k+1)/3

Substituindo k por n na fórmula original, obtemos:

1² + 3² + 5² + ... + (2n-1)² + (2n)² = n*(2n-1)(2n+1)/3 + (2n)²

Simplificando a expressão, chegamos a:

1² + 3² + 5² + ... + (2n-1)² + (2n)² = n*(2n-1)(2n+1)/3 + 4n²

Para provar que a fórmula também é verdadeira para n = k+1, precisamos mostrar que a soma à esquerda da igualdade é igual ao lado direito da igualdade quando n = k+1.

Usando a fórmula da soma dos quadrados dos números ímpares, podemos reescrever a soma à esquerda da igualdade:

1² + 3² + 5² + ... + (2n-1)² + (2n)² = [(2n-1)² / 3] * (2n+1)

Substituindo (2k-1)² por k*(2k-1)(2k+1)/3 (conforme a hipótese indutiva para n = k), obtemos:

[(2k-1)² / 3] * (2n+1) = k*(2k-1)(2k+1)/3 * (2n+1)

Simplificando a expressão, chegamos a:

k*(2k-1)(2k+1)(2n+1) / 3

Fatorando (2k-1) e (2k+1) da expressão, temos:

k*(2k-1)(2k+1)(2n+1) / 3 = 4k(2n+1) / 3

Substituindo k por n-1, obtemos:

(n-1)(2n-1)(2n+1)*(2n+1) / 3 = 4(n-1)(2n+1) / 3

Simplificando a expressão, chegamos a:

n*(2n-1)(2n+1) / 3

Conclusão:

Com base na prova por indução matemática, podemos concluir que a fórmula 1² + 3² + 5² + ... + (2n-1)² = n*(2n-1)(2n+1)/3 é válida para todos os números naturais n maiores ou iguais a 1.

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