Uma equação transcendente é uma equação que contém alguma função que não é redutível a uma fração entre polinômios, e cuja solução não pode ser expressa através de funções elementares.
De modo geral, uma equação transcendente não possui uma solução exata expressa através de funções conhecidas, sendo necessário recorrer ao cálculo numérico para obter uma solução.
As equações transcendentes mais comuns que aparecem são:
- equações trigonométricas em que a incógnita aparece tanto como argumento de uma função trigonométrica quanto independente. Ex: a Equação de Kepler, x - a sin(x) = b.
- equações exponenciais em que a incógnita e sua exponencial são somadas. Ex: na modelagem de um circuito elétrico com um diodo e uma resistência
- equações logarítmicas com combinações do logaritmo e da incógnita.
Uma equação transcendente pode ter infinitas soluções.
Exemplos
- resolvida através da Função W de Lambert, x = W(2) = 0.8526…
- com uma solução real trivial (x = 0) e duas soluções reais (x = +/- 1.895…") obtidas através do cálculo numérico
- Equações Fundamentais TranscendentesSão Equações formadas utilizando os conceitos das Equações Fundamentais Diretas, em que; um dos Elementos por ser desconhecido, é representado por sua função.Antes porém; de discorrermos sobre as Equações Fundamentais Transcendentes, estudaremos as funções dos Elementos Fundamentais; uma vez que é imprescindível nas mesmas o seu uso.
FUNÇÕES DOS ELEMENTOS FUNDAMENTAIS.Função de um elemento é o que equivale a este elemento; é o que pode funcionar em seu lugar.A função de um elemento pode substituí-lo em caso de sua falta, pois, como sabemos; a função de um elemento tem o mesmo valor do referido elemento.Exemplo:Neste caso,é função de S, pois que; é igual a S, e em caso de S ser desconhecido, será representado na EFT por
Para representarmos função de S, escrevemos simplesmente S. Assim:quer dizer: função de
No estudo das Funções, foi observado que cada Elemento Fundamental está relacionado a dois outros em combinações diferentes, dando assim, origem às Funções.Como cada Elemento Fundamental é igual à sua função, mostraremos a seguir as definições dos mesmos, pois que; a definição de cada Elemento Fundamental é a descrição de sua própria função.Vejamos:
DEFINIÇÕES DOS ELEMENTOS FUNDAMENTAIS.SOMA DE DOIS NÚMEROS:A soma de dois números é igual à raiz quadrada de sua diferença ao quadrado mais quatro vezes o seu produto.
Comprovação:
1 - Tomemos dois números (3 e 5).2 - A soma dos mesmos é 8; a diferença é 2; o produto é 15.Vejamos:8 que é a Soma, é igual à raiz quadrada da diferença ao quadrado mais 4 vezes o produto;Logo;Assim comprovamos a primeira demonstração.DIFERENÇA DE DOIS NÚMEROS:A diferença de dois números é igual à raiz quadrada de sua soma ao quadrado menos quatro vezes o seu produto.
Comprovação:
1 - Tomemos dois números (2 e 7).2 - A soma dos mesmos é 9; a diferença é 5; o produto é 14.Vejamos:5 que é a diferença, é igual à raiz quadrada da soma ao quadrado menos 4 vezes o produto;Logo;Assim comprovamos a segunda demonstração.PRODUTO DE DOIS NÚMEROS:O produto de dois números é igual ao quadrado de sua soma, menos o quadrado de sua diferença, dividido por quatro.
Comprovação:
1 - Tomemos dois números (4 e 8).2 - A soma dos mesmos é 12; a diferença é 4; o produto é 32.Vejamos:32 que é o produto, é igual ao quadrado da soma menos o quadrado da diferença dividido por 4;Logo;Assim comprovamos a terceira demonstração.QUOCIENTE DE DOIS NÚMEROS:O quociente entre dois números é igual ao quociente entre a sua soma mais a sua diferença e a sua soma menos a sua diferença.Comprovação:1 - Tomemos dois números (3 e 9).2 - A soma dos mesmos é 12; a diferença é 6; o quociente é 3.Vejamos:3 que é o quociente, é igual à soma mais a diferença dividido pela soma menos a diferença;Logo;Assim comprovamos a quarta demonstração.SOMA DE DOIS NÚMEROS PELO QUOCIENTE:A soma de dois números pelo quociente, é igual ao produto de sua diferença; pelo quociente mais a unidade sobre o quociente menos a unidade.Comprovação:1 - Tomemos dois números (7 e 14).2 - A soma dos mesmos é 21; a diferença é 7; o quociente é 2.Vejamos:21 que é a soma, é igual ao produto da diferença; pelo quociente mais a unidade sobre o quociente menos a unidade.Logo;Assim comprovamos a função de Soma pelo Quociente.DIFERENÇA DE DOIS NÚMEROS PELO QUOCIENTE:A diferença entre dois números pelo quociente, é igual ao produto de sua soma; pelo quociente menos a unidade sobre o quociente mais a unidade.Comprovação:1 - Tomemos dois números (6 e 18).2 - A soma dos mesmos é 24; a diferença é 12; o quociente é 3.Vejamos:12 que é a diferença, é igual ao produto da soma; pelo quociente menos a unidade sobre o quociente mais a unidade.Logo;Assim comprovamos a função de Diferença pelo Quociente.Baseados nas demonstrações dos Elementos Fundamentais, podemos também dizer que:Equações Fundamentais Transcendentes são Equações em que participam Elementos Fundamentais Diretos e Elementos Fundamentais Indiretos.
DEMONSTRAÇÕES DOS ELEMENTOS FUNDAMENTAISAs demonstrações dos Elementos Fundamentais estão no livro "Grandes Descobertas da Matemática";
RECONHECIMENTO DAS EFTEm qualquer problema em que o enunciado nos forneça um Elemento Direto e um Elemento Indireto, a Equação originada será uma Equação Fundamental Transcendente; o Elemento Direto oculto será substituído por sua função.Vejamos:O Produto de dois números é 72, a soma dos mesmos é 18. Quais são esses números?Nesse problema, o enunciado nos fornece um Elemento Direto e um Elemento Indireto, logo, a equação originada é uma EFT.Vejamos:Vamos resolver este problema?Sendo b igual a S-a; será b igual a 6, pois que, S-a é igual a 18-12, que é igual a 6.Resposta:Os números são 12 e 6.Podemos também obter a segunda incógnita, baseados na segunda fórmula da Equação.Resolução:Como vemos nesta Equação Fundamental Transcendente, a função de D, depois de resolvida passou a ser 6, que corresponde à Diferença entre as duas raízes, e que se colocou em seu devido lugar como Diferença, transformando a Equação Fundamental Transcendente em Equação Fundamental Direta, e bem por causa desta transição à sua base é que lhe atribuímos o nome de Equação Fundamental Transcendente.
EXERCÍCIO 1A soma de dois valores é 64. O produto é 295. Quais são esses valores?Resolução:Resposta:Os valores são 59 e 5.
EXERCÍCIO 2A diferença entre dois números é 14. O produto é 51. Quais são esses números?Resolução:Resposta:Os números são 17 e 3.
EXERCÍCIO 3A soma de dois números é 36. O quociente é 3. Quais são esses números?Resolução:Resposta:Os números são 27 e 9.
EXERCÍCIO 4A diferença entre dois números é 6. O quociente é 2. Quais são esses números?Resolução:Resposta:Os números são 12 e 6.
EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DO 2º GRAUAs Equações Fundamentais do 2º Grau estão no livro "Grandes Descobertas da Matemática";
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