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Matriz Transposta, Adição e Subtração de Matrizes

 

Após abordar algumas definições e conceitos envolvendo principalmente as matrizes quadradas, vamos agora estudar as operações que envolvem a utilização de matrizes. Em nosso artigo de hoje, focaremos em duas operações principais: a determinação da transposta de uma matriz e a adição de matrizes.

Dada uma matriz qualquer do tipo A_mxn definimos sua matriz transposta A_T como sendo a matriz obtida pela troca ordenada de linhas por colunas, de modo que a matriz A_T obtida seja do tipo nxm, como em nosso exemplo abaixo:

De uma maneira simplificada, podemos afirmar que para determinar uma matriz transposta, “o que é linha se torna coluna e o que é coluna se torna linha”. Note também que o cálculo da transposta de uma matriz não possui restrições quanto a sua dimensão, assim é possível determinar a transposta de matrizes quadradas e de matrizes não quadradas.

Para a adição de matrizes, iremos considerar duas matrizes A e B do tipo mxn. A adição dessas duas matrizes ocorrerá através da soma de seus termos em posições equivalentes e resultará em outra matriz, que trataremos como a matriz C_mxn em nosso seguinte exemplo:

Assim como na determinação da transposta, não existem restrições quanto as dimensões das matrizes na hora de somá-las. O único ponto que deve ser salientado é que as matrizes devem possuir dimensões iguais, ou seja, não é possível somar uma matriz de ordem 3 com uma de ordem 4!

Dentro da adição de matrizes, devemos destacar quatro propriedades: A comutativa, a associativa, a do elemento oposto e a do elemento neutro:

• Comutativa: A propriedade comutativa indica que não há restrições quanto a ordem das somas, ou seja, A+B=B+A.
• Associativa: A propriedade associativa demonstra para três matrizes quaisquer que a sua soma não depende da ordem em que ocorre, ou seja, A+(B+C)= (A+B)+C.
• Elemento oposto: Dada uma matriz A, definimos a matriz oposta de A como sendo a matriz com o mesmo valor modular, porém com todos os sinais invertidos. O elemento oposto nos traz que a soma de uma matriz com a sua matriz oposta é igual a 0, ou seja, A+(-A)=(-A)+A=0.
• Elemento neutro: O elemento neutro nos indica que a soma de uma matriz qualquer com a matriz nula resulta nela mesma, ou seja, A+0=0+A=A.

Além do mais, podemos definir também a subtração entre matrizes. Dada duas matrizes de mesma ordem A e B, a subtração entre elas A-B é feita através da soma da matriz A com a oposta de B, como ilustrado em nosso exemplo:

Após a conclusão destas operações, nos resta agora o estudo das multiplicações que envolvem as matrizes, que será estudado em nosso próximo artigo, aguarde!

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Sendo A =  e B =   , determine:

a) 2A + A^t

b) 3B^t

c) (A^t)^t

Resposta Questão 1

a) Nós multiplicaremos todos os elementos da matriz A por 2 e, em seguida, somaremos a essa matriz a transposta da matriz A, ou seja, a matriz A com os elementos das linhas trocados pelos elementos das colunas e vice-versa.

b) Vamos trocar as linhas pelas colunas da matriz B, escrevendo assim a sua matriz transposta. Depois de encontrar a matriz resultante, multiplicaremos todos os elementos por 3.

c) Primeiramente, nós encontraremos a transposta da matriz A. Feito isso, repetiremos o processo. Facilmente vemos que (A^t)^t = A.

 

Resolva a equação X^t + 2A = – B, se A =  e B =  

 

 

 

Inicialmente, no primeiro membro da equação, vamos multiplicar os elementos da matriz A por 2 e, no segundo membro da equação, vamos multiplicar a matriz B por – 1. Feito isso, mudaremos os elementos da matriz (2.A) para o segundo membro da equação com o sinal de menos. Realizaremos, então, o cálculo (– B) – (2.A) no segundo membro da equação, encontrando assim a matriz X^t.

 

 

 

 

 

(PUC-GO) Analise a afirmação seguinte: Se A é uma matriz quadrada, então A + A^T é uma matriz simétrica e A – A^T é uma matriz antissimétrica.

 

 

Portanto, a afirmativa é verdadeira.

(Fei - SP) Dada a Matriz A =  , sendo A^t sua transposta, o determinante da matriz A.A^t é:
a) 1
b) 7
c) 14
d) 49
 

 

 

Inicialmente, nós encontramos a matriz transposta a A. Em seguida, fazemos a multiplicação da matriz A pela sua transposta. Como podemos ver a seguir:

Vamos agora calcular o determinante da matriz encontrada:
Det (A.A^t) = 13.5 – 4.4
Det (A.A^t) = 65 – 16
Det (A.A^t) = 49
Portanto, a alternativa correta é a letra d.