Quantas senhas com 4 algarismos diferentes podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,e 9?

 




Quantas senhas com 4 algarismos diferentes podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,e 9?


Resposta correta: c) 3 024 senhas.

Esse exercício pode ser feito tanto com a fórmula, quanto usando a princípio fundamental da contagem.

1ª maneira: usando o princípio fundamental da contagem.

Como o exercício indica que não ocorrerá repetição nos algarismos que irão compor a senha, então teremos a seguinte situação:

  • 9 opções para o algarismo das unidades;
  • 8 opções para o algarismo das dezenas, visto que já utilizamos 1 algarismo na unidade e não pode repetir;
  • 7 opções para o algarismo das centenas, pois já utilizamos 1 algarismo na unidade e outro na dezena;
  • 6 opções para o algarismo do milhar, pois temos que tirar os que já usamos anteriormente.

Assim, o número de senhas será dado por:

9.8.7.6 = 3 024 senhas

2ª maneira: usando a fórmula

Para identificar qual fórmula usar, devemos perceber que a ordem dos algarismos é importante. Por exemplo 1234 é diferente de 4321, assim iremos usar a fórmula de arranjo.

Então, temos 9 elementos para serem agrupados de 4 a 4. Desta maneira, o cálculo será:

A 9,4 = 9!/(9-4)! = 9!/5! = 9*8*7*6*5!/5! = 9*8*7*6 = 3024 senhas


A com 9 vírgula 4 subscrito fim do subscrito igual a numerador 9 fatorial sobre denominador parêntese esquerdo 9 menos 4 parêntese direito fatorial fim da fração igual a numerador 9 fatorial sobre denominador 5 fatorial fim da fração igual a numerador 9.8.7.6.5 fatorial sobre denominador 5 fatorial fim da fração igual a 9.8.7.6 igual a 3 espaço 024 espaço s e n h a s



Para calcular o número de senhas com 4 algarismos diferentes que podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, podemos usar o seguinte raciocínio:

1º Algarismo:

Para o primeiro algarismo da senha, temos 9 opções (qualquer um dos 9 algarismos disponíveis).

2º Algarismo:

Após escolher o primeiro algarismo, restam 8 algarismos disponíveis para o segundo.

3º Algarismo:

Com dois algarismos já escolhidos, restam 7 opções para o terceiro.

4º Algarismo:

Finalmente, para o quarto algarismo, restam 6 opções.

Total de Senhas:

Para calcular o número total de senhas, multiplicamos o número de opções para cada algarismo:

Total = 9 × 8 × 7 × 6 = 3024

Portanto, podemos escrever 3024 senhas com 4 algarismos diferentes usando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.

Explicação Adicional:

O princípio fundamental da contagem afirma que, se temos n maneiras de fazer uma coisa e m maneiras de fazer outra, então temos n × m maneiras de fazer as duas coisas em sequência.

Neste caso, a "coisa" que estamos fazendo é escolher um algarismo para a senha. Temos 9 maneiras de fazer isso para o primeiro algarismo, 8 maneiras para o segundo, e assim por diante.

Portanto, o número total de senhas é o produto do número de maneiras de escolher cada algarismo.

Observações:

  • As senhas são consideradas diferentes se a ordem dos algarismos for diferente.
  • A repetição de algarismos não é permitida.

Exemplo:

As senhas "1234", "2134", "3214" e "4321" são diferentes, mesmo que usem os mesmos algarismos.

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