Três formas de resolver a equação x³=64



X³ - 64 = 0

X³ - 4³ = 0

A diferença de dois cubos é um dos casos de fatoração de polinômios. Dados x e y, para realizar a fatoração de x³ – y³, obtém-se: x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²). A diferença de dois cubos é um caso especial de polinômios.

AGORA TEMOS:


(x - 4)(x² + 4x + 16) = 0


Primeira raiz:

x - 4 =

x = 4


Outras duas raízes


(x + 2)² + 12 = 0



A equação (x + 2)² + 12 = 0 pode ser resolvida da seguinte maneira:

1. Subtraindo 12 de ambos os lados:

(x + 2)² = -12

2. Isolando o termo com x:

(x + 2)² = -12

3. Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:

Atenção: Como estamos tirando a raiz quadrada de um número negativo, é importante considerar que a raiz quadrada de um número negativo não é um número real. Na matemática, utilizamos o símbolo "i" para representar a raiz quadrada de -1, e chamamos i de unidade imaginária.

x + 2 = ±√(-12)

4. Simplificando a expressão:

x + 2 = ±2i√3

5. Isolando x:

x = -2 ± 2i√3

6. Solução final:

A equação (x + 2)² + 12 = 0 possui duas soluções complexas:

x₁ = -2 + 2i√3 e x₂ = -2 - 2i√3

7. Verificação:

Substituindo cada solução na equação original, podemos verificar se elas são válidas:

  • Para x₁ = -2 + 2i√3:

((-2 + 2i√3) + 2)² + 12 = (2i√3)² + 12 = (-12) + 12 = 0

  • Para x₂ = -2 - 2i√3:

((-2 - 2i√3) + 2)² + 12 = (-2i√3)² + 12 = (-12) + 12 = 0

As soluções são válidas, pois ambas as equações resultam em 0.

Portanto, as soluções da equação (x + 2)² + 12 = 0 são x₁ = -2 + 2i√3 e x₂ = -2 - 2i√3.

Observações importantes:

  • As raízes da equação são números complexos, que não são números reais.
  • Números complexos são formados por uma parte real e uma parte imaginária, que são multiplicadas pela unidade imaginária "i".
  • A parte real da solução é -2 em ambas as raízes.
  • A parte imaginária da solução é 2i√3 em uma raiz e -2i√3 na outra.
  • As soluções representam pontos no plano complexo, que estão simetricamente posicionados em relação ao eixo real.



Resolução da Equação (x - 4)(x² + 4x + 16) por Briot-Ruffini

1. Organização da Equação:

Começamos organizando a equação na forma padrão de Briot-Ruffini:

x³ - 0x² - 4x - 64 = 0

Coeficientes:

  • a = 1
  • b = 0
  • c = -4
  • d = -64

2. Esquema de Briot-Ruffini:




Valor de xabcd
Novo Coeficiente
410-4-64-40
-401-4-400-

3. Interpretação do Resultado:

  • O valor de x que divide o polinômio é x = 4.
  • O polinômio pode ser escrito como:

(x - 4)(x² - 4x - 16) = 0

4. Resolução do Segundo Fator:

O segundo fator, x² - 4x - 16, é um trinômio quadrado perfeito. Podemos reescrevê-lo como:

(x - 2)² = 0

5. Soluções da Equação:

As soluções da equação original são:

  • x₁ = 4
  • x₂ = 2
  • x₃ = -2

Verificação:

Substituindo cada solução na equação original, podemos verificar se são válidas:

  • x = 4: (4 - 4)(4² + 4 * 4 + 16) = 0 * 36 = 0
  • x = 2: (2 - 4)(2² + 4 * 2 + 16) = (-2) * 36 = -72
  • x = -2: (-2 - 4)(-2² + 4 * -2 + 16) = (-6) * 0 = 0

Portanto, as soluções da equação (x - 4)(x² + 4x + 16) = 0 são x₁ = 4, x₂ = 2 e x₃ = -2.

Observações:

  • O método de Briot-Ruffini é útil para fatorar polinômios de terceiro grau.
  • Este método pode ser aplicado a qualquer polinômio de terceiro grau, mesmo que não seja um trinômio quadrado perfeito.
  • O método fornece as raízes do polinômio de forma rápida e eficiente.

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