Demonstração - Álgebra - Múltiplo de 12

(1948) Considere quatro números inteiros a, b, c e d. Prove que o produto:

 (a-b)(c-a)(d-a)(d-c)(d-b)(c-b) é divisível por 12.

In http://www.4shared.com/get/5zGNkWP6/multiplo_de_12.html;jsessionid=C28ED73D0B98D6514BA44C86BD53B27C.dc332

DEMONSTRAÇÃO:

            Sejam os termos:

• A n = (a - b) mod n
• B n = (c - a) mod n
• C n = (d - a) mod n
• D n = (d - c) mod n
• E n = (d - b) mod n
• F n = (c - b) mod n

                                  

            Observando que:

• (d-c)= (d-a)-(c-a)
• (d-b)= (d-a)+(a-b)
• (c-b)= (c-a)+(a-b)

                                  

            Logo,

• D n = (C n – B n) mod n
• E n = (C n  + A n) mod n
• F n = (B n + A n) mod n

                                  

            Analisando os casos em que há zero ou um termo múltiplos de 2 dentre os termos

 (a – b), (c – a) e (d – a), têm-se que:

                                  

A2	B2	C2	D2	E2	F2
1	1	1	0	0	0
1	1	0	1	1	0
1	0	1	1	0	1
0	1	1	0	1	1

E assim há sempre pelo menos dois termos múltiplos de 2 considerando todos os seis termos, de forma que o produto dado é sempre múltiplo de 4.

            Analisando os casos em que não há múltiplos de 3 dentre os termos 

(a – b), (c – a) e (d – a), têm-se que

A2	B2	C2	D2	E2	F2
1	1	1	0	2	2
1	1	2	1	0	2
1	2	1	1	0	2
1	2	2	0	0	0
2	1	1	0	0	0
2	1	2	1	1	0
2	2	1	2	0	1
2	2	2	0	1	1

E assim há sempre pelo menos um termo múltiplo de 3 considerando todos os seis termos, de forma que o produto dada é sempre múltiplo de 3.

            Pelos resultados anteriores, o produto dado é sempre múltiplo de 4 e 3, de forma que é sempre múltiplo de 12.

c.q.d

t