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ENEM - Soma e Produto das Raízes de uma Equação do 2º grau

Ao resolvermos uma equação do 2º grau temos as seguintes possibilidades para o resultado (estudo das raízes): 

∆ > 0, duas raízes reais e distintas. 
∆ = 0, uma única raiz real e distinta. 
∆ < 0, nenhuma raiz real. 

Nos casos em que equação possui raízes reais algumas relações são observadas. Veja: 

Soma das raízes – (x₁ + x₂) 
Produto das raízes – (x₁ * x₂) 
As raízes de uma equação do 2º grau são determinadas a partir das seguintes expressões:

Com base nessas informações vamos determinar as expressões matemáticas responsáveis pela soma e produto das raízes. 

Soma dos dois termos




Produto (da soma pela diferença) de dois termos





Com a utilização dessas expressões podemos determinar as raízes de uma equação do 2º grau sem aplicar a resolução de Bháskara, respeitando a formação dessa equação com base na soma e no produto das raízes: x² – Sx + P = 0. 

Observe: 

A equação x² + 9x + 14 = 0 possui as seguintes raízes de acordo com as expressões da soma e do produto: 

Soma 




Produto 



Com base nesses valores, devemos determinar quais os dois números em que a soma seja -9 e o produto 14. Observe: 

7 e 2 S = 7 + 2 = 9 
P = 7 * 2 = 14 

–7 e 2 
S = –7 + 2 = – 5 
P = –7 * 2 = – 14 

7 e –2 
S = 7 + (–2) = 5 
P = 7 * (–2) = –14 

–7 e –2 
S = –7 + (–2) = –9 
P = –7 * (–2) = 14 


Veja que o par de números em que a soma resulta em –9 e o produto em 14 é (–2, –7). Portanto as raízes da equação x² + 9x + 14 = 0 possui como resultado o par ordenado, os números –2 e –7. 

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática