Se um polinômio P(x) dividido por (x - 1) deixa resto 2 e dividido por (x - 2) deixa resto 1, qual é o resto da divisão de P(x) pelo produto (x -1). (x- 2)?

Assim, existem polinômios P1(x)P1(x) e P2(x)P2(x), ambos de grau n−1n−1, tais que

P(x)=P1(x)(x−1)+2, P(x)=P2(x)(x−2)+1 

Daqui vem que P(1)=2, P(2)=1.

Sejam agora p(x)p(x) e r(x)r(x) polinômios tais que

P(x)=p(x)(x−1)(x−2)+r(x) 

Em particular, p(x)  tem grau n−2, enquanto que r(x)  tem grau inferior a 2. Note-se que

P(1)=r(1), P(2)=r(2) donde

r(1)=2, r(2)=1

Dado que r(x)r(x) tem grau inferior a 2, então r(x) é constante (se tem grau 0) ou é da forma ax+bax+b (se tem grau 1). 

Como r(1)≠r(2), então r(x) não pode ser constante. Tem portanto grau 1 e é da forma

r(x)=ax+br(x)=ax+b

Obtemos agora a e b, resolvendo o sistema

{r(1)=2

{r(2)=1

Temos

{a+b=2

{ 2a+b=1

donde

a=−1

b=3

Logo: r(x)=−x+3. Este é o resto da divisão de P(x)P(x) pelo produto (x−1)(x−2).