Júlio César de Mello e Souza (1895-1974), pseudônimo de Malba Tahan, foi um professor, educador, pedagogo, conferencista, matemático e escritor do modernismo brasileiro. Seu gosto por literatura e em particular pela arte de contar histórias remonta aos seus primeiros anos. No livro O Homem que Calculava [1], ele narra o interessante problema da partilha da herança de 35 camelos. Essa história é baseada em um conto de origem desconhecida que também serviu de inspiração para Ian Stewart, na página 23 do seu Almanaque das Curiosidades Matemáticas, criar um conto chamado História Para Cão Dormir.
A Partilha dos 35 Camelos
Beremiz Samir, o Homem que Calculava, viajando na garupa de um camelo junto com seu amigo, se deparam com três pessoas discutindo ao lado de um lote de camelos. O motivo da discórdia era a partilha dos camelos, deixados como herança aos três irmãos. O pai, antes de falecer, determinou como seria a divisão dos 35 camelos:
- O filho mais velho ficaria com a metade.
- X/2
- O filho do meio ficaria com a terça parte.
- X/3
- O filho caçula ficaria com a nona parte.
- X/9
A metade, a terça e a nona partes de 35 não incorrem em um valor exato – não faz sentido dividir um camelo. Beremiz, com o apoio do seu amigo, propôs resolver o problema adicionando seu próprio camelo para totalizar 36. Dessa forma, a divisão proposta pelo pai seria respeitada:
- O filho mais velho ficaria com a metade de 36: 18.
- O filho do meio ficaria com a terça parte de 36: 12.
- O filho caçula ficaria com a nona parte de 36: 4.
Note que a soma totaliza 34 e não 36. O algebrista convenceu os irmãos de que com essa divisão eles obteriam lucro, pois na partilha de 35 camelos:
- O filho mais velho ficaria com 17 e pouco.
- O filho do meio ficaria com 11 e pouco.
- O filho caçula ficaria com 3 e pouco.
Como gratidão pela solução do problema, os irmãos entregaram 2 camelos ao inteligente Beremiz. Agora, ele e seu amigo poderiam seguir viagem juntos, mas cada um em seu camelo. Agora vamos entender o artifício utilizado por Beremiz para permitir a álgebra com valores inteiros.
A Solução do Homem que Calculava
A solução do problema se encontra no próprio livro [1]. Feita a divisão como desejado pelo pai:
- Irmão mais velho: 35 / 2 = 17,5 = 17 + 1/2
- Irmão do meio: 35 / 3 = 11,666… = 11 + 2/3
- Irmão mais novo: 35 / 9 = 3,888… = 3 + 8/9
Como o total de camelos é 35, após a divisão, sobra 1 camelo mais 17/18 de camelo. 17/18 é o resultado da soma daquilo que falta para completar uma unidade na parte fracionária da divisão:
Note que a soma das frações não resultou em um número inteiro. Beremiz pensou em distribuir a diferença (1/18) ao acumulado de cada irmão para “inteirar” os valores, mas ainda assim sobraria 1 camelo:
Nesse ponto, o problema já estava resolvido, pois era esperado que sobrasse um camelo. Sabendo disso, Beremiz modificou o problema para que a divisão original resultasse valores inteiros e ainda obter algum lucro: ele passou a considerar a divisão de 36 camelos e não 35 para passar a impressão de que os irmãos estavam obtendo algum lucro com a divisão proposta pelo algebrista.
O artifício da adição para obtenção de divisões inteiras pode ser utilizado, por exemplo, para os números 17, 35, 53 e 71, mas as adições, assim como as sobras, seriam diferentes para cada número – para 18 sobra 1, para 36 sobram 2 e assim por diante.
Conclusão
Se você tem um conhecimento específico ou uma habilidade rara, é justo ganhar dinheiro com isso. Os matemáticos sentem prazer ao solucionar problemas, mas eles também precisam viver.
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