Association Kangourou Sans Frontières 2024 – Nível C (Cadet) - Questão 4

 

Cálculo da porcentagem de crescimento

1. Área do losango:

• O losango pode ser dividido em quatro triângulos retângulos congruentes.
• A área de cada triângulo retângulo é dada por:

Área = (base * altura) / 2

• A base do triângulo retângulo é metade da diagonal maior do losango.

• A altura do triângulo retângulo é metade da diagonal menor do losango.

• Portanto, a área de cada triângulo retângulo é:

Área = ((diagonal maior / 2) * (diagonal menor / 2)) / 2
= (diagonal maior * diagonal menor) / 8

• A área do losango é igual à soma das áreas dos quatro triângulos retângulos:

Área do losango = 4 * (diagonal maior * diagonal menor) / 8
= diagonal maior * diagonal menor / 2

2. Área da figura após anexar os triângulos:

• A figura final é composta pelo losango original e dois triângulos retângulos anexados.
• A área da figura final é igual à soma da área do losango e das áreas dos dois triângulos retângulos anexados:

Área final = Área do losango + 2 * Área do triângulo retângulo
= diagonal maior * diagonal menor / 2 + 2 * ((diagonal maior / 2) * (diagonal menor / 2)) / 2
= diagonal maior * diagonal menor / 2 + (diagonal maior * diagonal menor) / 4
= (3 * diagonal maior * diagonal menor) / 4

3. Cálculo da porcentagem de crescimento:

• A porcentagem de crescimento é dada pela razão entre a diferença de área e a área original, multiplicada por 100:

Porcentagem de crescimento = ((Área final - Área do losango) / Área do losango) * 100
= ((3 * diagonal maior * diagonal menor / 4) - (diagonal maior * diagonal menor / 2)) / (diagonal maior * diagonal menor / 2) * 100
= (diagonal maior * diagonal menor / 4) / (diagonal maior * diagonal menor / 2) * 100
= 1/2 * 100
= 50%

4. Resposta:

A porcentagem de crescimento da área da figura após os triângulos serem anexados é de 50%.

Observação:

• A resposta correta para a questão é (E) 50%.

Explicação adicional:

• A resolução do problema utiliza a propriedade da divisão de um segmento em razão áurea.
• A diagonal maior do losango é dividida em razão áurea pela intersecção com a diagonal menor.
• Essa divisão permite calcular facilmente a área do losango e dos triângulos retângulos.