A História do Cálculo Diferencial e Integral

Introdução ao Cálculo Diferencial e Integral

A derivada e a integral são duas noções básicas do Cálculo Diferencial e Integral. Do ponto de vista geométrico, a derivada está ligada ao problema de traçar a tangente a uma curva enquanto que a integral está relacionada com o problema de determinar a área de certas figuras planas, mas também possui muitas outras interpretações possíveis. Na realidade, a grande descoberta de Newton e de Leibniz foi que a Matemática, além de lidar com grandezas, é capaz de lidar com a variação das mesmas.

Elementos históricos sobre a Integral

História da Integral

O cálculo integral se originou com problemas de quadratura e cubatura. Resolver um problema de quadratura significa encontrar o valor exato da área de uma região bidimensional cuja fronteira consiste de uma ou mais curvas, ou de uma superfície tridimensional, cuja fronteira também consiste de pelo menos uma curva. Para um problema de cubatura, queremos determinar o volume exato de um sólido tridimensional limitado, pelo menos em parte, por superfícies curvas. Hoje, o uso do termo quadratura não mudou muito: matemáticos, cientistas e engenheiros comumente dizem que "reduziram um problema a uma quadratura", o que significa que tinham um problema complicado, o simplificaram de várias maneiras e agora o problema pode ser resolvido avaliando uma integral.

Historicamente, Hipócrates de Chios (cerca de 440 A.C.) executou as primeiras quadraturas quando encontrou a área de certas lunas, regiões que se parecem com a lua próxima do seu quarto crescente. Antiphon (cerca de 430 A.C.) alegou que poderia "quadrar o círculo" (isto é, encontrar a área de um círculo) com uma seqüência infinita de polígonos regulares inscritos: primeiro um quadrado; segundo um octógono, a seguir um hexadecaedro, etc., etc. Seu problema era o "etc., etc.". Como a quadratura do círculo de Antiphon requeria um número infinito de polígonos, nunca poderia ser terminada. Ele teria que ter usado o conceito moderno de limite para finalizar seu processo com rigor matemático. Mas Antiphon tinha o início de uma grande ideia agora chamado de método de exaustão. Mais de 2000 anos depois, creditamos a Eudoxo (cerca de 370 A.C.) o desenvolvimento do método de exaustão: uma técnica de aproximação da área de uma região com um número crescente de polígonos, com aproximações melhorando a cada etapa e a área exata sendo obtida depois de um número infinito destas etapas; esta técnica foi modificada para atacar cubaturas também.

Arquimedes (287--212 A.C.), o maior matemático da antiguidade, usou o método de exaustão para encontrar a quadratura da parábola. Arquimedes aproximou a área com um número grande de triângulos construídos engenhosamente e então usou o argumento da redução ao absurdo dupla para provar o resultado rigorosamente e evitar qualquer metafísica do infinito. Para o círculo, Arquimedes primeiro mostrou que a área depende da circunferência; isto é muito fácil de se verificar hoje em dia, uma vez que ambas as fórmulas dependem de p. Então Arquimedes aproximou a área do círculo de raio unitário usando polígonos regulares de 96 lados inscritos e circunscritos! Seu famoso resultado foi 3 10/71 < style="">método da compressão

. O processo de Arquimedes para encontrar a área de um segmento de uma espiral era comprimir esta região entre setores de círculos inscritos e circunscritos: seu método de determinar o volume de um conóide (um sólido formado pela rotação de uma parábola ao redor de seu eixo) era comprimir este sólido entre cilindros inscritos e circunscritos. Em cada caso, a etapa final que estabelecia rigorosamente o resultado era o argumento da redução ao absurdo dupla.

No seu possivelmente mais famoso trabalho de todos, um tratado combinado de matemática e física, Arquimedes empregou indivisíveis para estimar o centro de gravidade de certas regiões bidimensionais e de certos sólidos tridimensionais. (Arquimedes reconheceu que, por um lado, seu trabalho sugeria a verdade de seus resultados, e por outro faltava um rigor lógico completo). Se considerarmos uma destas regiões sendo composta de um número infinito de retas, de comprimentos variados, então estas retas são chamadas de indivisíveis. Similarmente, quando a composição de um sólido tridimensional é pensada como um número infinito de discos circulares, de raios variados, mas com espessura zero, então estes discos são conhecidos como indivisíveis.

Matemáticos muçulmanos dos séculos 9 a 13 foram grandes estudiosos de Arquimedes, mas nunca souberam da determinação de Arquimedes do volume de um conóide. Assim, um dos mais notáveis de todos matemáticos árabes, Thabit ibn Qurrah (826--901) desenvolveu sua própria cubatura, um tanto complicada, deste sólido; e então o cientista persa Abu Sahl al-Kuhi (século 10) simplificou consideravelmente o processo de Thabit. Ibn al-Haytham (965--1039), conhecido no ocidente como Alhazen e famoso por seu trabalho em ótica, usou o método de compressão para encontrar o volume do sólido formado pela rotação da parábola ao redor de uma reta perpendicular ao eixo da curva.

Durante o período medieval no ocidente, progresso foi obtido aplicando as idéias de cálculo a problemas de movimento. William Heytesbury (1335), um membro do notável grupo de estudiosos do Merton College, em Oxford, foi o primeiro a vislumbrar métodos para a determinação da velocidade e a distância percorrida por um corpo supostamente sob "aceleração uniforme". Hoje, podemos obter estes resultados encontrando duas integrais indefinidas ou antiderivadas, sucessivamente. Notícias deste trabalho de Heytesbury e seus colegas de Merton alcançaram Paris posteriormente no século 14 onde Nicole Oresme (1320--1382) representou ambas a velocidade e o tempo como segmentos de reta de comprimentos variáveis. Oresme colocou as retas de velocidade de um corpo juntas verticalmente, como os indivisíveis de Arquimedes, sobre uma reta base horizontal, e a configuração total, como ele a chamou, representava a distância total coberta pelo corpo. Em particular, a área desta configuração era chamada de "quantidade total de movimento" do corpo. Aqui temos precursores dos gráficos modernos e o nascimento da cinemática.

À medida que os europeus começaram a explorar o globo, tornou-se necessário ter um mapa do mundo no qual certas retas representassem rumos sobre a superfície da Terra. Houve diversas soluções para este problema, mas a solução mais famosa foi a projeção de Mercator, embora Gerard Mercator (1512--1594) não tenha explicado seus princípios geométricos. Aquela tarefa foi assumida por Edward Wright (1561--1615) que, além disso, providenciou uma tabela que mostrava que as distâncias ao longo das retas de rumo seriam bem aproximadas somando os produtos (sec f D f ), onde f é a latitude; isto é, aproximando a integral de sec f.

Em seu New Stereometry of Wine Barrels (Nova Estereometria de Barris de Vinho) (1615), o famoso astrônomo Johannes Kepler (1571--1630) aproximou os volumes de vários sólidos tridimensionais, cada qual era formado girando uma região bidimensional ao redor de um eixo. Para cada um destes volumes de revolução, subdividiu o sólido em várias fatias muito finas ou discos chamados de infinitésimos (note a diferença entre infinitésimos e os indivisíveis de Arquimedes). Então, em cada caso, a soma destes infinitésimos aproximavam o volume desejado. A segunda lei de Kepler do movimento planetário requeria quadraturas de segmentos de uma elipse, e para aproximar estas áreas, somou triângulos infinitesimais.

Bonaventura Cavalieri (1598--1647), um estudante de Galileu, desenvolveu uma teoria de indivisíveis. Para uma região bidimensional, Cavalieri considerou a coleção de "todas as retas" como sendo um único número, a área da região. Christiaan Huygens (1629--1695) criticou, "Sobre os métodos de Cavalieri: alguém se engana se aceitar seu uso como uma demonstração mas são úteis como um meio de descoberta anterior à demonstração... isto é o que vem primeiro...". Evangelista Torricelli (1608--1648), outro discípulo de Galileu e amigo de Cavalieri, tentou resolver algumas das dificuldades com indivisíveis ao afirmar que as retas poderiam ter algum tipo de espessura. Foi cuidadoso para usar argumentos de redução ao absurdo para provar quadraturas que obteve por indivisíveis. O "Chifre de Gabriel" é uma cubatura "incrível" descoberta por Torricelli.

Pierre Fermat (1601--1665) desenvolveu uma técnica para encontrar as áreas sob cada uma das "parábolas de ordem superior" (y = kxⁿ, onde k > 0 é constante e n = 2, 3, 4, …) usando retângulos estreitos inscritos e circunscritos para levar ao método de compressão. Então empregou uma série geométrica para fazer o mesmo para cada uma das curvas y = kxⁿ, para n = -2, -3, -4, …. Mas, para sua decepção, nunca foi capaz de estender estes processos para "hipérboles de ordem superior", y^m = kxⁿ. Por volta da década de 1640, a fórmula geral para a integral de parábolas de ordem superior era conhecida de Fermat, Blaise Pascal (1623-1662), Gilles Personne de Roberval (1602--1675), René Descartes (1596--1650), Torricelli, Marin Mersenne (1588--1648) e provavelmente outros.

John Wallis (1616--1703) estava fortemente comprometido com a relativamente nova notação algébrica cujo desenvolvimento era uma característica dos matemáticos do século 17. Por exemplo, ele tratou a parábola, a elipse e a hipérbole como curvas planas definidas por equações em duas variáveis em vez de seções de um cone. Também inventou o símbolo ¥ para infinito e, ao usar isto, obscureceu lugares onde agora sabemos que deveria ter usado o limite. Estendeu a fórmula de quadratura para y = kxⁿ para casos quando n era um número racional positivo usando indivisíveis, razões inteligentes e apelos ao raciocínio por analogia. A dependência de Wallis em fórmulas o levou a várias quadraturas interessantes.

Roberval explorou o Princípio de Cavalieri para encontrar a área sob um arco da ciclóide. Roberval e Pascal foram os primeiros a plotar as funções seno e co-seno e a encontrar as quadraturas destas curvas (para o primeiro quadrante). Pascal aproximou integrais duplas e triplas usando somas triangulares e piramidais. Estas não eram cubaturas, mas eram etapas em seu esforço para calcular os momentos de certos sólidos, para cada um dos quais ele então determinou o centro de gravidade.

Finalmente, Gregory St. Vincent (1584--1667) determinou a área sob a hipérbole xy = 1, usando retângulos estreitos inscritos e circunscritos de larguras diferentes especialmente desenhados e o método de compressão. St. Vincent estendeu esta e outras quadraturas para encontrar várias cubaturas. Logo depois disto, seu aluno, Alfonso Antonio de Sarasa (1618--1667) reconheceu que a quadratura da hipérbole está intimamente ligada à propriedade do produto do logaritmo!

Seguindo uma sugestão de Wallis, em 1657, William Neile (1637--1670) determinou o comprimento de uma seção arbitrária da parábola semicúbica, y² = x³, e em 1658, Christopher Wren (1632--1723), o famoso arquiteto, encontrou o comprimento de um arco da ciclóide. Em 1659, Hendrick van Heuraet (1634-cerca de 1660) generalizou seu trabalho somando tangentes infinitesimais a uma curva, portanto desenvolveu a essência do nosso método moderno de retificação - usando uma integral para encontrar o comprimento de um arco.

Na forma geométrica, muito do cálculo nos primeiros dois terços do século 17 culminaram no The Geometrical Lectures (1670) de Isaac Barrow (1630--1677). Barrow deixou sua cadeira de Professor Lucasiano em Cambridge em favor de se ex-aluno Isaac Newton (1642--1727). Newton seguiu James Gregory (1638--1675) ao pensar na área da região entre uma curva e o eixo horizontal como uma variável; o extremo esquerdo era fixo, mas o extremo direito podia variar. Este truque lhe permitiu estender algumas fórmulas de quadratura de Wallis e o levou ao Teorema Fundamental do Cálculo. O último trabalho de Newton sobre cálculo, e também o primeiro a ser publicado, foi seu ensaio, "On the Quadrature of Curves" (Sobre Quadratura de Curvas), escrito entre 1691 e 1693 e publicado como um apêndice na edição de 1704 do seu Opticks. Neste, ele montou uma tabela extensa de integrais de funções algébricas um tanto complicadas, e para curvas as quais não podia desenvolver fórmulas de integração, inventou técnicas geométricas de quadratura. Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, Newton desenvolveu as técnicas básicas para avaliar integrais usadas hoje em dia, incluindo os métodos de substituição e integração por partes.

Para Gottfried Wilhelm Leibniz (1646--1716), uma curva era um polígono com um número infinito de lados. Leibniz (1686) fez y representar uma ordenada da curva e dx a distância infinitesimal de uma abscissa para a próxima, isto é, a diferença entre abscissas "sucessivas". Então disse, "represento a área de uma figura pela soma de todos os retângulos [infinitesimais] limitados pelas ordenadas e diferenças das abscissas ... e assim represento em meu cálculo a área da figura por ò y dx". Leibniz tomou o "S" alongado para a integral do latim summa e d do latim differentia, e estas têm permanecido nossas notações de cálculo mais básicas desde então. Ele considerava as contas de cálculo como o meio de abreviar de algum modo o clássico método grego de exaustão. Leibniz era ambivalente sobre infinitesimais, mas acreditava que contas formais de cálculo poderiam ser confiáveis porque levavam a resultados corretos.

O termo integral, como usamos em cálculo, foi cunhado por Johann Bernoulli (1667--1748) e publicado primeiramente por seu irmão mais velho Jakob Bernoulli (1654--1705). Principalmente como uma conseqüência do poder do Teorema Fundamental do Cálculo de Newton e Leibniz, integrais eram consideradas simplesmente como derivadas "inversas". A área era uma noção intuitiva, quadraturas que não podiam ser encontradas usando o Teorema Fundamental do Cálculo eram aproximadas. Embora Newton tenha desferido um golpe muito imperfeito sobre a idéia de limite, ninguém nos séculos 18 e 19 teve a visão de combinar limites e áreas para definir a integral matematicamente. Em vez disso, com grande engenhosidade, muitas fórmulas de integração inteligentes foram desenvolvidas. Aproximadamente ao mesmo tempo em que a tabela de integrais de Newton tinha sido publicada, Johann Bernoulli desenvolveu procedimentos matemáticos para a integração de todas as funções racionais, o qual chamamos agora de método das frações parciais. Estas regras foram resumidas elegantemente por Leonhard Euler (1707--1783) em seu trabalho enciclopédico de três volumes sobre cálculo (1768-1770). Incidentalmente, estes esforços estimularam o aumento do interesse durante o século 18 na fatoração e resolução de equações polinomiais de graus elevados.

Enquanto descrevia as trajetórias dos cometas no Principia Mathematica (1687), Newton propôs um problema com implicações importantes para o cálculo: "Para encontrar uma curva do tipo parabólico [isto é, um polinômio] a qual deve passar por qualquer número de pontos dados", Newton redescobriu a fórmula de interpolação de James Gregory (1638--1675); hoje, é chamada de fórmula de Gregory-Newton, e em 1711, ele ressaltou sua importância: "Assim as áreas de todas as curvas podem ser aproximadas ... a área da parábola [polinômio] será quase igual à área da figura curvilínea ... a parábola [polinômio] pode sempre ser quadrada geometricamente por métodos conhecidos em geral [isto é, usando o Teorema Fundamental do Cálculo]". O trabalho de interpolação de Newton foi estendido em épocas distintas por Roger Cotes (1682--1716), James Stirling (1692--1770), Colin Maclaurin (1698--1746), Leonhard Euler e outros. Em 1743, o matemático autodidata Thomas Simpson (1710-1761) encontrou o que se tornou um caso especial, popular e útil das formulas de Newton-Cotes para aproximar uma integral, a Regra de Simpson.

Embora Euler tenha feito cálculos mais analíticos que geométricos, com ênfase em funções (1748; 1755; 1768), houve vários mal-entendidos sobre o conceito de função, propriamente dito, no século 18. Certos problemas de física, como o problema da corda vibrante, contribuíram para esta confusão. Euler identificou tanto funções com expressão analítica, que pensou em uma função contínua como sendo definida apenas por uma única fórmula em todo seu domínio. A idéia moderna de uma função contínua, independente de qualquer fórmula, foi iniciada em 1791 por Louis-François Arbogast (1759--1803): "A lei de continuidade consiste em que uma quantidade não pode passar de um estado [valor] para outro [valor] sem passar por todos os estados intermediários [valores] ...". Esta idéia tornou-se rigorosa em um panfleto de 1817 por Bernhard Bolzano (1781--1848) e é conhecida agora como o Teorema do Valor Intermediário. Funções descontínuas (no sentido moderno) foram forçadas na comunidade matemática e científica por Joseph Fourier (1768--1830) no seu famoso Analytical Theory of Heat (Teoria Analítica do Calor,1822).

Quando Augustin Louis Cauchy (1789--1857) assumiu a reforma total do cálculo para seus alunos de engenharia na École polytechnique na década de 1820, a integral era uma de suas pedras fundamentais:

No cálculo integral, me pareceu necessário demonstrar com generalidade a existência das integrais ou funções primitivas antes de tornar conhecidas suas diversas propriedades. Para alcançar este objetivo, foi necessário estabelecer no começo a noção de integrais tomadas entre limites dados ou integrais definidas.

Cauchy definiu a integral de qualquer função contínua no intervalo [a,b] sendo o limite da soma das áreas de retângulos finos. Sua primeira obrigação era provar que este limite existia para todas as funções contínuas sobre o intervalo dado. Infelizmente, embora Cauchy tenha usado o Teorema do Valor Intermediário, não conseguiu seu objetivo porque não observou dois fatos teóricos sutis mas cruciais. Ele não tinha noção das falhas lógicas no seu argumento e prosseguiu para justificar o Teorema do Valor Médio para Integrais e para provar o Teorema Fundamental do Cálculo para funções contínuas. Niels Henrik Abel (1802--1829) também apontou certos erros delicados ao usar a integral de Cauchy para integrar todo termo de uma série infinita de funções.

A primeira prova rigorosa da convergência da Série de Fourier geral foi feita por Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805--1859) em 1829. Dirichlet também é responsável pela definição moderna de função (1837). Em 1855, Dirichlet sucedeu Carl Friedrich Gauss (1777-1855) como professor na Universidade de Göttingen. Por sua vez, Georg F. B. Riemann (1826--1866) sucedeu Dirichlet (1859) em Göttingen. No processo de extensão do trabalho de Dirichlet sobre séries de Fourier, Riemann generalizou a definição de Cauchy da integral para funções arbitrárias no intervalo [a,b], e o limite das somas de Riemann é a formulação no texto. Imediatamente, Riemann perguntou, "em que casos uma função é integrável?" A maior parte do desenvolvimento da teoria de integração foi subseqüentemente verificada por Riemann e outros, mas ainda havia dificuldades com integrais de séries infinitas que não foram trabalhadas até o início do século 20.

A quadratura do círculo e o pi

Os problemas que levaram à formulação do pi.

Por Luiz Barco

De modo geral, considera-se a "quadratura do círculo" o mais famoso problema da história da Matemática. Quando a Geometria ainda engatinhava, já se havia estabelecido a possibilidade de medir a área de qualquer figura cercada por segmentos de reta (poligonais). No antigo Egito, essa técnica era usada pelos "esticadores de cordas", nome dado aos agrimensores, encarregados de medir os campos do vale do rio Nilo. Anualmente, as cheias do grande rio inundavam as várzeas, tornando-as extremamente férteis; e as mesmas águas que traziam a fertilidade levavam os marcos delimitadores dos terrenos, que deviam ser refeitos a cada ano.

Mas a medição da área de figuras cercadas por linhas curvas apresenta dificuldades muito maiores. Esforços foram desenvolvidos ao longo dos séculos para reduzir tal problema à medida de áreas com limites poligonais. É evidente que, se formos capazes de construir um quadrado com área igual à de um círculo dado, bastará medir a área do quadrado para termos a área do círculo. A expressão "quadratura do círculo" tem origem exatamente na busca dessa solução e está ligada ao muito conhecido número TT (pi). Ele é a relação entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro. Ou seja, se medirmos o comprimento da circunferência e dividirmos o valor obtido pelo valor da medida do diâmetro do círculo correspondente, o resultado será um valor pouco maior que 3.

Esse valor recebeu o nome pi, que é a décima sexta letra do alfabeto grego, inicial da palavra periphéreia (circunferência). Assim, o número TT é a ra2ão constante entre a medida da circunferência (perímetro do círculo) e a medida do diâmetro. Por-

tanto, C/D = TT (C é a medida da circunferência e D, a medida do diâmetro). Isto é, C = D.tt. Como o diâmetro D é o dobro do raio R, temos C = 2.R.tt. A medida de uma circunferência é o produto do dobro do raio (2R) por tt. Mas a área do círculo é dada pelo produto do quadrado do raio (R2) por TT. Isto é, A = TT.R2. Assim, a determinação da área de um círculo de raio conhecido será tão precisa quanto for precisa a determinação do valor de TT. Por isso, a resolução da quadratura do círculo tem a ver com a determinação do valor de tt.

Quando mencionavam uma construção geométrica, os gregos imaginavam-na com o uso dos "instrumentos dos deuses", isto é, régua e compasso. Hoje, quando se fala na impossibilidade de solucionar esse problema, trata-se de uma impossibilidade relativa ao uso exclusivo desses dois instrumentos. Tentativas de resolvê-lo foram registradas desde os longínquos tempos de Pitágoras (c. 580 - c.500 a.C.), mas foi Arquimedes (c. 290 - c. 212 a.C.) o primeiro a se dar conta de que a dificuldade estava em definir o que seria a área de uma superfície delimitada por uma curva.

Ele testou o que seria chamado "método da exaustão." usando uma série de polígonos inscritos e uma série de polígonos circunscritos.

Arquimedes esteve bem próximo de mostrar que a área do círculo não pode ser definida sem a introdução de processos infinitesimaís e de limites. Foi feliz, ainda, em mostrar, através de uma série de polígonos inscritos e circunscritos ao círculo, que o valor de tt estava entre 3 10/71 e 3 10/70, uma aproximação razoável que foi bem aceita durante quase dezoito séculos. Em 1596, o matemático alemão Ludolph van Ceulem calculou tt com 35 casas decimais e pediu à mulher que gravasse tal cifra em seu túmulo, como epitáfio. Outros cálculos mais precisos foram feitos, até chegar ao recorde atual: pi com 200 milhões de casas (SI número 7, ano 2).

Tal cálculo é inútil, pois, como observou o astrônomo americano Simon Newcomb (1835-1909), "dez casas decimais são suficientemente precisas para dar o valor da circunferência do planeta Terra com erro inferior a uma fração de polegada; e trinta casas dariam a circunferência do Universo visível com extraordinária precisão". Quanto à quadratura do círculo (com régua e compasso), que corresponde às equações algébricas, no ano de 1882 o matemático alemão Carl Louis Ferdinand von Lindemann provou que pi não é raiz de qualquer equação algébrica com coeficientes inteiros. Com isso, sepultou de vez as esperanças de resolver o belo problema dos gregos pelo método pretendido.

A idéia básica do conceito de integral já estava embutida no método da exaustão atribuído a Eudoxo (406-355 a.C.), desenvolvido e aperfeiçoado por Arquimedes (287-212 a.C.), grande matemático da escola de Alexandria. Pode-se obter a área de uma figura plana irregular ou obter o volume de um sólido com o formato de um barril.

O método da exaustão consiste em "exaurir" a figura dada por meio de outras de áreas e volumes conhecidos. O caso mais conhecido é o famoso problema da quadratura do círculo, isto é, o problema de obter um quadrado com a mesma área de um círculo de raio r dado.

Uma primeira aproximação para a área do círculo é dada pela área do quadrado inscrito no círculo. Com o acréscimo de quatro triângulos isósceles convenientes, obtemos o octógono regular inscrito no círculo, cuja área fornece uma aproximação melhor à área do círculo.

Continuando com o processo de acrescentar novos triângulos, tomamos um polígono regular de 16 lados. Do ponto de vista geométrico, é possível observar que já se tem a impressão de termos exaurido o círculo, embora saibamos que existem algumas áreas que não foram cobertas.

Continuamos a exaurir o círculo para obter aproximações cada vez melhores para a área do círculo, através de polígonos regulares inscritos de 2ⁿ lados.

Usando um procedimento similar a este, com polígonos inscritos e circunscritos, Arquimedes calculou a área do círculo de raio unitário mostrando que a área A (=Pi) está compreendida entre:

3 +10/71 = 3,140845 < 7 =" 3,142857

O inconveniente do método de exaustão de Arquimedes é que para cada novo problema havia a necessidade de um tipo particular de aproximação. Por exemplo, para obter a área de uma região localizada sob um segmento de parábola ACB.

Arquimedes, usou como primeira aproximação o triângulo ABC, em que C foi tomado de modo que a reta tangente à parábola que passa pelo ponto C seja paralela à reta AB.

De modo semelhante são escolhidos os pontos D e E e construídos os triângulos ACD e BCE.

Na sequência foram construídos mais triângulos com as mesmas propriedades que os outros obtidos nos passos anteriores.

Observamos que tais triângulos estão exaurindo a área da região parabólica.

O Cálculo Diferencial e Integral foi criado por Isaac Newton (1642-1727) e Wilhelm Leibniz (1646-1716). O trabalho destes cientistas foi uma sistematização de idéias e métodos surgidos principalmente ao longo dos séculos XVI e XVII, os primórdios da chamada era da Ciência Moderna, que teve início com a Teoria heliocêntrica de Copérnico (1473-1543).

O que permitiu a passagem do método de exaustão para o conceito de integral foi a percepção que em certos casos, a área da região pode ser calculada sempre com o mesmo tipo de aproximação por retângulos.

Esta foi uma descoberta conceitual importante, mas em termos práticos, a descoberta fundamental foi a possibilidade de exprimir a integral de uma função em termos de uma primitiva da função dada e este fato é conhecido pelo nome de Teorema Fundamental do Cálculo.

Estas idéias serão aqui expostas mas observamos que o conceito de integral pode ser introduzido de várias formas, todas elas tendo em comum a mesma idéia geométrica, mas que se diferenciam pelo rigor matemático utilizado. Neste caso ocorre um problema usual em Matemática: quanto menos rigorosa ou formal é a conceituação de um objeto matemático, mais simples é a sua compreensão, porém é mais inadequada ou de conhecimento inatingível para um ser humano comum, em função das propriedades que decorrem do processo conceitual utilizado.

A idéia ou o conceito de integral foi formulado por Newton e Leibniz no século XVII, mas a primeira tentativa de uma conceituação precisa foi feita por volta de 1820, pelo matemático francês Augustin Louis Cauchy (1789-1857). Os estudos de Cauchy foram incompletos mas muito importantes por terem dado início à investigação sobre os fundamentos do Cálculo Integral, levando ao desenvolvimento da Análise Matemática e da teoria das funções.

Por volta de 1854, o matemático alemão Bernhard Riemann (1826-1866) realizou um estudo bem mais aprofundado sobre a integral e em sua homenagem a integral estudada por ele passou a receber o nome de Integral de Riemann. Tal nome serve para distinguir essa integral de outras que foram introduzidas mais tarde, como por exemplo, a Integral de Lebesgue. A forma usada para introduzir o conceito de Integral de Riemann nos cursos de Cálculo é a versão devida a Cauchy. O que justifica isto é que, ela é simples e bastante acessível aos alunos de um curso de inicial de Cálculo, além de atender aos propósitos de um curso desta natureza.

Nos cursos de Análise Matemática apresenta-se uma versão mais refinada, a Integral de Darboux-Riemann, usando os conceitos de soma inferior, soma superior, integral inferior e integral superior, que correspondem ao método de exaustão usando, respectivamente, polígonos inscritos e polígonos circunscritos.

Mas, para que ninguém alimente idéias equivocadas, observamos que as diversas definições da Integral de Riemann mencionadas são equivalentes e a diferença entre elas se situa na adequação das definições para a obtenção das propriedades da referida Integral.

Como o objetivo deste material é focalizar muito mais as idéias do que uma análise rigorosa das propriedades da Integral de Riemann e considerando que nem todos os visitantes desta página, têm os requisitos de Análise para um enfoque mais rigoroso, apresentamos aqui também a versão mais simples, introduzida por Cauchy.

Partição de um intervalo

Uma partição de um intervalo [a,b] da reta real é um conjunto finito de pontos {x_o,x_1,...,x_n} em R tal que

a=x₀ <>₁

< ... <>_n=b

I_j=[x_j,x_j+1] é o j-ésimo subintervalo da partição. Dado um intervalo [a,b], podemos tomar uma partição muito particular, como aquela que toma pontos de modo que os subintervalos da partição tenham comprimentos iguais.

Integral de uma função real

Cauchy usou o seguinte processo para definir a integral de uma função real. Seja f:[a,b] R limitada não negativa, isto é, f(x)>0 ou f(x)=0 para todo x em [a,b] e tomemos uma partição:

a=x₀<>₁

< ... <>_n=b

do intervalo [a,b] que tenha todos os n subintervalos com o mesmo comprimento dx=(b-a)/n.

Tomaremos apenas os primeiros pontos da partição e faremos uma análise geométrica da curva no sub-intervalo [x_o,x₁]. Para os outros sub-intervalos ocorre uma situação similar. A área sob a curva no intervalo [x_o,x₁] pode ser obtida através da área S₁ do retângulo cuja base mede dx=x₁-x_o e a altura é a linha tracejada cuja medida é dada por f(c₁) onde c₁ é um ponto em [x_o,x₁].

Existe uma compensação da área "branca" que fica acima da curva e dentro do retângulo com a área "branca" que fica abaixo da curva e fora do retângulo.

Em cada subintervalo I_j=[x_j,x_j+1] desta partição tomamos um ponto genérico qualquer c_j e formamos n retângulos, todos com as bases de medida dx e alturas dadas por:

f(c₁), f(c₂), ..., f(c_n)

Se a partição tem n subintervalos, denotamos por S_n a soma das áreas dos n retângulos:

S_n = f(c₁)dx + f(c₂) dx + ... + f(c_n)dx =

sendo a soma realizada sobre todos os j=1...n.

Se essas somas forem calculadas para todos os valores de n, formaremos uma sequência:

{S₁, S_2, ..., S_n, ...}

Se esta sequência numérica {S_n} é convergente para um número real bem definido, diz-se que f é integrável no intervalo [a,b] e o valor do limite desta sequência é denotado por:

= (1)

A expressão da esquerda é a integral de f entre os limitantes de integração a e b e a expressão da direita é o limite da sequência de somas parciais S_n.

Observações sobre a definição de integral

1. Devido ao importante trabalho de Riemann, já citado antes, a integral definida por (1) é denominada Integral de Riemann e as somas

S_n=

são chamadas de somas de Riemann.

2. O processo de construção usado na definição da Integral de Riemann sugere que:

seja definido como a área da figura limitada pelo gráfico de f, pelo eixo OX e pelas retas x=a e x=b.

3. A existência e o valor do limite (1) deve ser independente da escolha dos pontos c₁, ..., c_n nos subintervalos de [a,b].

4. O limite (1) da sequência das somas S_n pode existir ou não. A existência ou não da integral de f, quando o domínio de integração é um intervalo limitado e fechado (compacto) [a,b], depende da regularidade da função f neste intervalo.

5. Determinar condições necessárias e suficientes para que uma função f tenha integral é uma questão muito delicada e requer conceitos que somente são abordados em um curso mais avançado de Análise Matemática. Para se ter uma idéia desta dificuldade lembramos que este problema só foi completamente resolvido no início do século XX, aproximadamente cem anos após os estudos realizados por Cauchy quando se tentava dar um tratamento rigoroso ao conceito de integral.

6. Para as nossas necessidades é suficiente saber que toda função contínua definida num intervalo limitado e fechado (compacto) é integrável e que toda função limitada definida num compacto [a,b] é integrável se o número de pontos de descontinuidade da função neste intervalo for finito.

7. Cauchy tomou uma partição muito particular do intervalo [a,b], subdividindo-o em partes iguais. Podemos refazer o processo com intervalos de comprimentos diferentes, sendo cada intervalo da forma [x_j,x_j+1] e comprimentos dx_j=x_j+1-x_j. Neste caso as somas de Riemann S_n tomam a forma

S_n=f(c₁)dx₁+f(c₂)dx₂+...+f(c_n)dx_n=

Ao proceder desta forma temos que tomar uma precaução adicional. Não basta tomar o limite de S_n quando n , mas temos que acrescentar a condição que o maior dos comprimentos dx₁, ..., dx_n deve convergir para zero. Com isto em mente, temos a notação:

=

onde |P|=max{dx₁,...,dx_n} é a norma da partição P.

8. Inicialmente fizemos a suposição que f devesse ser positiva. Se f não é necessariamente positiva em [a,b], ainda assim a integral de f pode ser definida pelo mesmo procedimento anterior, sem qualquer problema, mas alguns cuidados devem ser tomados em relação à interpretação geométrica.

Suponhamos que o gráfico de f seja como na figura acima. Levando em consideração a última observação, podemos formar as somas de Riemann da função f no intervalo [a,b] de modo a incluir um ponto c como um dos pontos da partição.

Caso exista a integral de f sobre [a,b], verifica-se, que:

b a

f(x) dx =

c a

f(x) dx +

b c

f(x) dx (2)

Esta propriedade será tratada mais à frente, mas observamos que a primeira integral do segundo membro de (2) é positiva, enquanto que a segunda integral do segundo membro é negativa. Desse modo a integral de f sobre o intervalo [a,b] será à diferença das áreas (que são valores positivos) assinaladas com os sinais (+) e (-). Para considerar este caso, a partição do intervalo [a,b] em subintervalos de comprimentos iguais já não é mais adequada.

A definição de integral é abstrata e não é um instrumento adequado para calcular integrais, razão pela qual o cálculo de integrais geralmente é feito mediante o uso do Teorema Fundamental do Cálculo, que veremos adiante.

Para melhor entender a definição de integral de uma função f num intervalo [a,b] apresentaremos um exemplo bastante comum.

Exemplo: Para calcular a área da figura delimitada pela parábola y=x², o eixo OX e a reta vertical x=1, inicialmente dividiremos o intervalo [0,1] em n partes iguais de comprimento dx=1/n.

Tomaremos os pontos c_j como os extremos esquerdos de cada j-ésimo intervalo, de forma que:

c₁=0, c₂=dx, c₃=2 dx, ..., c_n=(n-1)dx

Para f(x)=x², tomamos h=dx=1/n e escreveremos a soma

Soma = S_n = f(c₁) h + f(c₂) h + ... + f(c_n) h

da forma

Soma = [0² + h² + (2h)² +...+ ((n-1)h)²].h

= [1² + 2² + 3² +...+ (n-1)²] h³

= [1² + 2² + 3² +...+ (n-1)²] / n³

= [n³/3 - n²/2 +n/6] / n³

= 1/3 - 1/(2n) + 1/(6n²)

Quando n , a expressão da soma se aproxima de 1/3 e chegamos à conclusão que:

1 0	x² dx = 1/3

Propriedades da Integral definida

A definição de integral é abstrata e tem pouco uso operacional. Em função disto, introduzimos mecanismos que facilitam certos cálculos e os principais são as propriedades das integrais.

Proposição: Se f e g são funções integráveis no intervalo [a,b], então f+g é integrável no mesmo intervalo e além disso:

b a

(f+g)(x) dx =

b a

f(x) dx +

b a

g(x) dx

Proposição: Se f é uma função integrável no intervalo [a,b] e c uma constante qualquer, então a função cf é integrável e

b a

(c.f)(x) dx = c

b a

f(x) dx

As duas proposições acima constituem as propriedades lineares da integral definida, sendo que as demonstrações das mesmas são relativamente simples, com o uso da definição de integral apresentada.

Proposição: Se f é uma função integrável nos intervalos [a,c] e [c,b], então f é integrável em [a,b] e além disso:

b a

f(x) dx =

c a

f(x) dx +

b c

f(x) dx

Esta proposição trata da propriedade da aditividade da integral definida e pode ser demonstrada requerendo um pequeno artifício de incluir o ponto c entre os pontos da partição do intervalo [a,b].

Exercício: Tente demonstrar as proposições ou procure em um bom livro de Análise Matemática.

O Teorema da Média

O nome Teorema Fundamental do Cálculo já diz sobre a importância do mesmo. Este teorema permite exprimir a integral de uma função em termos de uma outra função conhecida como primitiva e esta notável descoberta de Newton e Leibniz no século XVII, forneceu ao Cálculo uma ferramenta eficaz para o cálculo da maioria das integrais que aparecem no cotidiano.

Necessitamos do Teorema da Média, que é um resultado preparatório para demonstrar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Teorema da Média: Seja f uma função contínua num intervalo [a,b]. Então existe um valor c nesse intervalo tal que

b a	f(x) dx = f(c) (b-a)

Demonstração: Relembramos que

=

onde c_j é um ponto qualquer do j-ésimo subintervalo de medida dx=(b-a)/n e o limite é tomado quando n .

Se m=min{f(x):x em [a,b]}, M=max{f(x):x em [a,b]} e f é contínua sobre um intervalo fechado e limitado da reta, temos a garantia (pelo Teorema dos valores extremos de Weierstrass) que existem x=x_o e x=x₁ tal que m=f(x_o) e M=f(x₁), então, para todo c_j do intervalo [a,b] tem-se que:

m < f(c_j) < M

donde segue que:

m dx < f(c_j) dx < M dx

Realizando a soma sobre todos os índices j=0...n, obteremos

m dx < f(c_i) dx < M dx

logo

m(b-a) <

n j=0

f(ci) dx < M(b-a)

Tomando o limite com n sobre todas as três expressões nas desigualdades, teremos:

m (b-a) <

b a

f(x) dx < M (b-a)

isto é:

m <

1 b-a

b a

f(x) dx < M

Portanto, o termo do meio dessas desigualdades está entre f(x_o) e f(x₁) e pelo Teorema do Valor Intermediário, podemos concluir que existe c em [a,b] tal que

f(c) =

1 b-a

b a

f(x) dx

o que completa a demonstração do Teorema da média.

Primitivas

Uma primitiva para uma função f=f(x) é uma outra função F=F(x) cuja derivada coincide com f, isto é, F'(x)=f(x). Pode ser que existam várias primitivas para uma mesma função f. Você conhece alguma função real que não tem primitiva?

Exemplos: Algumas primitivas para f(x)=x², são:

F(x)=x³/3

G(x)=x³/3 + 1

H(x)=x³/3 + C

pois as derivadas destas funções são iguais a f(x)=x².

A constante C da última primitiva é tão geral, que na verdade poderia assumir qualquer valor numérico. Assim, uma primitiva geral para f(x)=x², teria a forma:

F(x) = x³/3 + C

em que o número C é uma constante arbitrária e x em Dom(f).

Observação: Se F=F(x) e G=G(x) são primitivas para uma função f, então para todo x no domínio da função f, existe uma constante C tal que:

F(x) - G(x) = C

Isto significa geometricamente, que o gráfico de uma primitiva é a translação vertical do gráfico da outra primitiva no plano cartesiano. Traçando segmentos de retas verticais com extremidades nas curvas y=F(x) e y=G(x), estes segmentos terão sempre a mesma medida C.

Integral indefinida

Definimos a integral indefinida de uma função real f, como uma primitiva de f, isto é:

f(x) dx = F(x) + C

para todo x em Dom(f), sendo que o símbolo de integral é o mesmo já usado antes que teve origem como uma variação da letra grega sigma comumente usada para somas.

Exemplo: A integral indefinida funciona como uma espécie de inversa para a derivada. Se f(x)=x², então:

x² dx = x³/3 + C

Algumas regras das integrais indefinidas

Como a derivada de f(x)=xⁿ⁺¹/(n+1) é igual a g(x)=xⁿ, segue que:

xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C

É fundamental que n seja diferente de -1, pois a derivada da função logarítmica f(x)=ln(x) é a função g(x)=1/x, assim:

(1/x) dx = ln(x) + C

Como a derivada da função exponencial f(x)=exp(x)=e^x é a própria f(x)=e^x, então:

e^x dx = e^x + C

Uma aplicação da integral indefinida

Se a taxa de crescimento da população de uma cidade daqui a x anos pode ser considerada como f(x)=117+200x e hoje existem 10.000 pessoas na cidade, qual será o número total de pessoas da cidade daqui a 5 anos? Como:

P’(x) = 117 + 200x

então:

P(x)= P’(x)dx= (117+200x)dx=117x+100x²+C

assim, podemos obter o valor de C pois P(0)=10.000. Realmente:

10000 = P(0) = 117×0 + 100×0² + C

logo

P(x) = 117x + 100x² + 10000

e daqui há 5 anos, a população da cidade será:

P(5)=117×5 + 100×5² + 10000 = 13085

Teorema Fundamental do Cálculo

Agora podemos demonstrar o teorema mais importante do Cálculo Diferencial e Integral. Nós o faremos em duas versões e posteriormente mostraremos que ambas são equivalentes.

1o. Teorema Fundamental do Cálculo: Seja f uma função contínua num intervalo [a,b] e seja F a função definida por

F(x) =

x a

f(t) dt

Então, F é derivável em todos os pontos internos desse intervalo e

F'(x) = f(x)

Demonstração: Dando um acréscimo h à variável x, poderemos escrever:

F(x+h)=

x+h a

f(t)dt=

x a

f(t)dt+

x+h x

f(t)dt=F(x)+

x+h x

f(t)dt

Pelo teorema da média, existe um valor c entre x e x+h, tal que

x+h x

f(x) dx = f(c) h

Das duas últimas expressões, obtemos para x <>

F(x+h) - F(x) = f(c) h

Dividindo ambos os membros por h e fazendo h tender a 0, teremos a definição de derivada da função F=F(x). O cálculo deste limite garante que c tenderá a x e pela continuidade de f, f(c) tenderá a f(x), assim F'(x)=f(x), o que significa que

F(x) =

x a

f(t) dt

é uma primitiva para a função f.

2o. Teorema Fundamental do Cálculo: Seja f uma função contínua num intervalo [a,b] e G uma primitiva de f, então,

b a	f(x)dx = G(b) - G(a) (3)

Equivalência entre as duas versões: Suponhamos que a 2a.versão seja válida e vamos substituir em (3) a variável b por x. Assim,

x a	f(x)dx = G(x) - G(a) (4)

Como por hipótese, G é derivável com derivada f, então o primeiro membro de (4) também é derivável tendo a mesma derivada f, assim a 2a. versão implica a 1a. versão.

Reciprocamente, vamos admitir que a 1a. versão seja válida, isto é, que:

F(x) =

x a

f(t) dt

seja uma primitiva para f. Se G for outra primitiva de f, então

G(x) - F(x) = K (constante)

logo

G(x) = K +

x a

f(t) dt

é a expressão mais geral de uma primitiva para f e como a integral de t=a até t=a é nula, segue que

G(a) = K

o que garante que:

G(x) = G(a) +

x a

f(t) dt

Tomando x=b nesta última expressão, obtemos:

G(b)-G(a) =

b a

f(t) dt

Exemplo 1: Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, vamos refazer o cálculo da área da figura delimitada pela parábola y=x², o eixo OX e as retas x=0 e x=1. Uma primitiva para f(x)=x² é a função G(x)=x³/3 e pelo Teorema Fundamental do cálculo, temos que:

1 0	x² dx = G(1) - G(0) = 1/3

Exemplo 2: Calcular a área da região limitada pela parábola y = x² e a reta y = 3-2x.

Área =

1 -3

(3-2x)dx -

1 -3

x² dx = 32/3

Uma Aplicação da integral definida

Um certo estudo indica que, daqui a x anos, a população de uma cidade crescerá à taxa de 117+200x pessoas por ano. Qual será o aumento populacional da cidade nos próximos 10 anos?

Solução: Seja P=P(x) a população daqui a x anos, então:

P'(x) = 117 + 200 x

Uma primitiva para P'(x) é G(x)=117x+100x², logo o aumento populacional nos próximos 10 anos será dado por

P(10)-P(0)=

10 0

(117+200x)dx=G(10)-G(0)=11170

Observação: Para o cálculo de uma integral mediante o uso do Teorema Fundamental do Cálculo, necessitamos conhecer uma primitiva para a função envolvida. Obter uma primitiva de uma função nem sempre é um problema simples de ser resolvido e algumas vezes é impossível, como é o caso das integrais elípticas, que aparecem naturalmente quando se deseja calcular o comprimento do arco de uma elipse através de integrais.

Obter uma primitiva para uma função pode envolver técnicas bastante sofisticadas, que são desenvolvidas nos cursos de Cálculo e Análise Matemática. Nosso objetivo aqui não é desenvolver estas técnicas de integração. Estamos mais interessados na compreensão do conceito de integral e de suas consequências.

Integração por substituição

Este tipo de integral funciona como a regra da cadeia para integrais de funções. Para obter a integral da forma:

f(u(x)) u'(x) dx

substituímos u=u(x) na integral acima e calculamos a integral

f(u) du

Exemplos: Para cada integral substituímos a variável indicada.

1. u=x²+3x.

(x²+3x)(2x+3)dx= udu=u²/2+C=(x²+3x)²/2+C

2. u=x²+1.

5x/(x²+1)dx=(5/2) 2x/(x²+1)dx=(5/2) du/u=(5/2)ln(u)+C=(5/2)ln(x²+1)+C

3. u=x+1.

x/(x+1)dx= (u-1)/u du= du- du/u=u-ln(u)+C=x+1-ln(x+1)+C

Observação: Para trabalhar com o método de integração por substituição há a necessidade de fazer uso de bastante criatividade, percepção e muitos exercícios!

Integração por partes

Se existe uma primitiva G para a função g, isto é: G'(x)=g(x), então:

f(x)G'(x) dx = f(x)G(x) - f'(x)G(x) dx

Pela derivada do produto de duas funções, segue que:

(f(x)G(x))' = f'(x)G(x)+f(x)G'(x) = f'(x)G(x)+f(x)g(x)

e integrando os os membros desta última igualdade, obteremos:

(f(x) G(x))' dx = [f'(x)G(x) + f(x)g(x)] dx

isto é

f(x)G(x) = [f'(x)G(x) + f(x)g(x)] dx

assim

f(x)G(x) = f'(x)G(x) dx + f(x)g(x) dx

donde segue o resultado.

Exemplo: Para calcular x.ln(x)dx, tomamos g(x)=x e f(x)=ln(x). Assim, uma primitiva para g=g(x) é a função G(x)=x²/2 e f'(x)=1/x e a fórmula de integração por partes, nos informa que:

f(x)g(x)dx = f(x)G(x) - f'(x)G(x)dx

Substituindo as funções acima definidas, teremos:

x.ln(x)dx = ln(x).x²/2 - (1/x).xdx

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x.ln(x)dx = ½ x² ln(x) - x + C

A constante só foi colocada no final para não atrapalhar os cálculos intermediários.

Exercício: Calcular as integrais abaixo pelo uso sucessivo do método de integração por partes.

1. E₁= x e^x dx

2. E₂= x² e^x dx

3. E₃= x³ e^x dx

4. E_n= xⁿ e^x dx

omingo, 26 de maio de 2013

Área de Parábolas Longas (2/3 do seu retângulo inerente)

18/07/2012

-No texto: Área de parábola em função do seu retângulo inerente; publicado em 15 de junho de 2010, neste Blog; foi comentado, sobre a obtenção da área aproximada de uma parábola inscrita em um retângulo.

-Como parâmetro, foi tomado o quadrado por ser um retângulo regular; o que permite a fórmula: 

( Área  ≅   x^ 2. 2/3 ).

-Segundo nos contam na história; o grande cientista e matemático Arquimedes de Siracusa, aproximadamente 250 anos antes da Era Cristã, foi o primeiro a usar o método da exaustão rigorosamente. Aplicando este método na determinação de áreas de diversas figuras curvas.

-Com este método ele inscrevia figuras retas, como triângulos ou paralelogramos, cuja área é bem conhecida.

-Na determinação da área da parábola ele usou figuras retas que são os triângulos; sendo o primeiro; o "maior” deles: que tem como base a abertura da concavidade da parábola (boca). E por (h) altura o eixo de simetria.

-O triângulo maior, tem área menor que o arco de parábola. Porém, mais dois triângulos menores quase cobria a diferença. E outros dois ainda menores quase fechava a área da parábola. Arquimedes chegou então a uma conclusão, que: a área dos segundos triângulos era 1/4 da do primeiro; e que a dos seguintes era 1/4 da dos segundos, e assim sucessivamente, era uma soma, infinita; que aproximava cada vez mais a área da parábola.

-Arquimedes provou que essa área era 4/3 da área do primeiro triângulo.

Fonte Superinteressante março de 1994

-Agora, pensei em pesquisar a área da parábola inscrita em um retângulo, e ver se esta área em função da área do retângulo dado permaneceria constante. Não conhecendo até então detalhes do método de Arquimedes, na primeira fase da pesquisa. Então na segunda fase da pesquisa cheguei à conclusão que ela tem sempre uma constante aproximada de: 0,660 (aproximadamente 2/3) da área do seu retângulo inerente. Sendo que na região mais arcada é um pouco maior. Por isso tem a "Parábola inteira" (ou parábola regular) aproximadamente (0,6665) da área do seu retângulo inerente, (quadrado). E a metade da parábola inteira, não simétrica (aproximadamente 0,670).

 

-Ou seja: considerando uma parábola inteira, a que está inscrita, em um quadrado, com lados x; então  o seu eixo de simetria é igual ao lado x.

-Se alongarmos a parábola até que seu eixo de simetria tenha comprimento igual 2x; podemos dizer então, que esta é uma parábola "duplicada".

- Veja no desenho; a área de uma parábola duplicada é aproximadamente 0,660 do seu retângulo inerente (que está circunscrito).

-E se continuarmos alongando-a, até que seu eixo de simetria tenha comprimento igual a 3x; podemos dizer que esta é uma parábola "triplicada". Também a área de uma parábola triplicada, é aproximadamente 0,660 do seu retângulo inerente. E assim, sucessivamente, continuando alongando-a, nesta ordem, teremos a parábola: quadruplicada, quintuplicada,... decuplicada.

-As quais, sempre tem área aproximadamente igual a 0,660 do seu retângulo inerente. Conclui-se assim que: no geral, “a Parábola longa" maior que a inteira e menor que a decuplicada (até onde pesquisei); sempre tem área aproximada de 0,660 do seu retângulo circunscrito.

-Comparando este método (2/3 do retângulo inerente); com o método de Arquimedes que usou triângulos inscritos na parábola, chegando à conclusão que, a área da parábola era de (4/3 da área do primeiro triângulo); entendi que:

2/3 é metade de 4/3, portanto as razões tem tudo haver uma com a outra, pois a área de um triângulo é metade da área de um paralelogramo.

Arquimedes ( Área de Parábola 4/3 do primeiro triângulo)

Arquimedes, brilhante físico e matemático grego. Nasceu por volta de 287 e morreu em 212  a.Cristo. Em seu tempo utilizando o método da exaustão com rigor, concluiu que:a área da parábola era 4/3 do primeiro triângulo inscrito nesta.

*) Questão Área de Parábolas Longas

Projeções: m+n; é a diagonal da metade do retângulo com lados: y e x sabendo-se que sempre;há um único número real que é função da diagonal de um retângulo dado.

-Este número real (nR) conduz a determinação geral deste retângulo.

Sendo assim, se a projeção m, tem comprimento (14,673405310 cm)    e o número Real (nR) da diagonal  "m+n "   vale:

Qual é o valor aproximado da área verde na parábola do desenho?