Potenciação

Potência (1)

Introdução

As principais operações são: adição, subtração, divisão e multiplicação. Utilizando o processo da multiplicação podemos encontrar outra operação: a potenciação, que para a realização de seus cálculos é necessário saber multiplicar.

Os números envolvidos em uma multiplicação são chamados de fatores e o resultado da multiplicação é o produto, quando os fatores são todos iguais existe uma forma diferente de fazer a representação dessa multiplicação que é a potenciação.

2 . 2 . 2 . 2 = 16 → multiplicação de fatores iguais.

Podemos representar a mesma multiplicação da seguinte forma:

2 . 2 . 2 . 2 = 2⁴ = 16

↓

Fatores iguais.

Essa representação é conhecida como potenciação, portanto, sempre que tivermos fatores iguais, podemos montar uma potência.

Representamos uma potência da seguinte forma:

A base sempre será o valor do fator.

O expoente é a quantidade de vezes que o fator repete.
A potência é o resultado do produto.

Propriedades da potenciação

A potenciação, ou potência, é uma ferramenta útil para simplificar cálculos com números grandes - foi, aliás, desenvolvida com esse intuito, como mostra a história da criação da potência.

A potenciação é uma multiplicação de fatores iguais. Neste tipo de multiplicação nós escrevemos de uma forma simplificada este produto onde o fator nós chamamos de base e o número de vezes que este fator repete o chamamos de expoente.

Ex.: 2.2.2 = 2³ = 8. Lê-se dois elevado à terceira potência ou dois elevado a três igual a oito.

Diz-se que a potenciação facilita os cálculos matemáticos principalmente graças às propriedades que ela têm. Veja:

Na operação com potências, ao efetuarmos a sua resolução podemos utilizar algumas propriedades para simplificar os cálculos.

Potências de mesma base

A propriedade que Arquimedes é que na multiplicação de potências de mesma base, conservam-se as bases e somam-se os expoentes".

a^b è onde a é a base e b é o expoente.

Isto é: 2³ x 2⁵ = 2³⁺⁵ = 2⁸ = 2.2.2.2.2.2.2.2 = 216 ou, numa fórmula genérica:

Trata-se da propriedade fundamental da potência. Dela se originariam todas as outras que conhecemos hoje.

Expoentes negativos

Oresmus, pensador do renascimento descobriu que, na tabela de potência desenvolvida por Arquimedes, na série de baixo (dos resultados das potências), andando-se para a direita, os números se multiplicam por 2. Logo, caso se ande no sentido inverso, para a esquerda, os números de dividem por 2.

Multiplica-se por 2
n	1	2	3	4	5	6	7
2n	2	4	8	16	32	64	128
Divide-se por 2

Ora se a tabela é infinita para a direita, multiplicando-se sempre por 2, pode-se também caminhar infinitamente para a esquerda, dividindo-se sempre por 2. E a série superior (dos expoentes), em expansão para a esquerda, tomaria o número zero e os números negativos.

Multiplica-se por 2
N	- 5	- 4	- 3	- 2	- 1	0	1	2	3	4	5	6
	1/16:2	1/8:2	1/4:2	1/2:2	1:2	2:2	4:2	8:2	16:2	32:2	64:2	128:2
2n	1/32	1/16	1/8	1/4	1/2	1	2	4	8	16	32	64
Divide-se por 2

Generalizando, se a é um número diferente de zero, então:

Dessa propriedade, se origina a relativa à divisão de potências de mesma base:

Se a^m é dividido por aⁿ, a divisão pode ser entendida como uma multiplicação pelo inverso do divisor. Então:

Dessa forma a^m: aⁿ = a^m. a^-n, e, pela propriedade de Arquimedes, Oresmus resolve o problema da acumulação da divisão:

b) Propriedade da potência da potência:
Tem-se uma potência de uma potência:

E generalizando:

Aqui Oresmus resolve o problema da acumulação na potência, reduzindo-a à multiplicação que é uma operação mais simples.

c) Propriedade dos expoentes fracionários:

Se temos , podemos decompor o expoente de a¹. Ele é o mesmo que a^1/2+1/2 ou a ^1/2 . a ^1/2.

Desta forma ou seja .

Oresmus construiu este raciocínio com diversas raízes e com diversos expoentes para, então, generalizar:

Com essa propriedade, Oresmus resolveu o problema da acumulação na raiz, reduzindo-a à divisão que é uma operação mais simples.

As propriedades de Oresmus juntaram-se à de Arquimedes. Com elas, o problema de "acumulação" nos cálculos encontraram uma saída. Cada operação era redutível, através dos expoentes a uma operação mais simples:

Operações fundamentais	Operações inversas
A potenciação era redutível à multiplicação dos expoentes.	A raiz era redutível à divisão de expoentes.
A multiplicação era redutível à soma de expoentes.	A divisão era redutível à subtração dos expoentes.

Estava, pois, aberto o caminho para o princípio do mais rápido, mais simples e menos trabalhoso retomar o seu curso de desenvolvimento. Oresmus ainda tentou desenvolver mais as suas propriedades, incluindo nelas a questão dos expoentes irracionais como . Mas como as potências e as raízes naquela época tinham uma notação muito complicada, ele não conseguiu ir em frente.

Potência (2)

História da descoberta do conceito

A humanidade demorou milhares de anos para chegar da contagem simples até os cálculos de potenciação. Uma importante etapa desse percurso foi desenvolvida por Arquimedes, na Grécia antiga. Esse matemático viveu no século 3 a.C. e fez importantes contribuições tanto no desenvolvimento teórico, como prático da ciência.

Em suas especulações, Arquimedes resolveu calcular quantos grãos de areia eram necessários para encher o Universo. Essa questão parecia fundamental a Arquimedes. Em sua época, o Universo era considerado um sistema de esferas com o mesmo centro: o Sol. Os planetas estavam fixados na superfície de cada esfera.

Os expoentes

Após calcular o diâmetro dessas esferas, Arquimedes calculou o volume do Universo e o volume médio de um grão de areia. Fez a divisão final e obteve como resultado um número enorme. Não poderia usar os números usuais para escrever esse número, pois resultaria numa extensa e incompreensível quantidade de algarismos.

Nos cálculos de Arquimedes apareciam sempre contas de multiplicar em que o número 10 aparecia repetidas vezes. Fazer contas com aqueles números enormes era muito difícil. Arquimedes construiu, então, uma tabela e elaborou um método de escrever números grandes, utilizando algarismos especiais, que ele chamou de "miríades" - e que hoje conhecemos como expoentes.

Para isso, ele se utilizava principalmente de potências de base dez. Veja o quadro abaixo:

Número de vezes que o 10 aparece como fator na multiplicação	Resultado
1	10
2	100
3	1000
4	10000
5	100000
...	...

Arquimedes desenvolveu essa tabela até chegar ao que julgava ser o número de grãos de areia necessários para encher a esfera do Universo: 10⁵¹.

Com seus cálculos, o matemático grego contribuiu para a elaboração da potenciação e formulou algumas leis e propriedades das potências. Assim ele criou uma tabela, em que colocava duas séries de números, como se vê abaixo:

N	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2n	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

Os números da série de cima (superior) são os expoentes e os da série de baixo (inferior) são os resultados da potência de 2 elevado ao expoente correspondente. Quando o número de cima é 5, o de baixo é o resultado de 2⁵, isto é, 32.

A partir dessa tabela, Arquimedes enunciou a seguinte lei:

 Se queremos multiplicar dois números quaisquer, da série inferior, adicionamos os números correspondentes da série superior e procuramos o número correspondente a esta soma na série inferior.

Ou seja: para multiplicar o número 4 por 32, por exemplo, basta tomar os expoentes correspondentes (2 e 5), somar (7), e procurar o resultado correspondente (128).

Resumo:

Produto de potência de mesma base

Sem utilizar essa propriedade resolveríamos uma multiplicação de potência de mesma base da seguinte forma:

2² . 2³ = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 2⁵ = 32

Utilizando a propriedade de produtos de mesma base, resolvemos da seguinte forma: como é um produto de bases iguais, basta repetir a base e somar os expoentes.

2² . 2³ = 2^{2 + 3} = 2⁵ = 32

5¹ . 5³ = 5^{1 + 3} = 5⁴ = 625

Quocientes de potências de mesma base

Sem utilizar dessa propriedade, o cálculo do quociente com potência 128 : 126 ficaria da seguinte forma:

12⁸ : 12⁶ = 429981696 : 2985984 = 144

Utilizando a propriedade do quociente de mesma base, a resolução ficaria mais simplificada, veja: como nessa divisão as bases são iguais, basta repetir a base e diminuir os expoentes.

12⁸ : 12⁶ = 12^{8 – 6} = 12² = 144

(-5)⁶ : (-5)² = (-5)^{6 – 2} = (-5)⁴ = 625

Potência de Potência

Quando nos deparamos com a seguinte potência (3²)³ resolvemos primeiro a potência que está dentro dos parênteses e depois, com o resultado obtido, elevamos ao expoente de fora, veja:

(3²)³ = (3 . 3)³ = 9³ = 9 . 9 . 9 = 729

Utilizando a propriedade de potência, a resolução ficará mais simplificada: basta multiplicarmos os dois expoentes, veja:

(3²)³ = 3^{2 . 3} = 3⁶ = 729

(-9¹)² = (-9)^{1 . 2} = (-9)² = 81

Potência de um produto

Veja a resolução da potência de um produto sem utilizarmos a propriedade:

(3 x 4)³ = (3 x 4) x (3 x 4) x (3 x 4)

(3 x 4)³ = 3 x 3 x 3 x 4 x 4 x 4

(3 x 4)³ = 27 x 64

(3 x 4)³ = 1728

Utilizando a propriedade, a resolução ficaria assim:

(3 x 4)³ = 3³ x 4³ = 27 x 64 = 1728