 | A ideia de Arquimedes, que parte da mecânica, consiste em considerar a igualdade entre duas relações a/b =c/d como análoga ao estado de equilíbrio de uma alavanca submetida a dois pesos P1 e P2 tal que:
GB/GA = p2/p1 .
Porque quer avaliar um secção de parábola AB, precisa de encontrar uma figura em que essa proporção exista. |
 | Encontra essa proporção na figura geométrica ao lado em que AD é tangente à parábola AB, e onde BD é paralela ao eixo. Ao considerar EFG paralela a BD as propriedades específicas da parábola permitem-lhe demonstrar:
BE/BA = EF/EG (1)
O esprito do "método" consite em considerar (1) como uma igualdade entre uma relação de comprimento BE/BA e uma relação de peso EF/EG. Todos os segmentos possíveis EF e EG compõem respectivamente a secção de parábola e o triângulo ABD.
Levando até ao fim a sua analogia, Arquimedes vai construir uma alavanca abstracta cujo equilíbrio realizará a igualdade (1). É a transformação do problema de geometria em problema mecânico. |
 | Como os meios dos segmentos EG estão todos situados sobre a mediana AK, o "peso" EG fica, portanto, suspenso no seu centro de gravidade L no extremo do braço da alavanca KL. Além disso, BD e EG são paralelas,
portanto BE/BA = KL/KA (2),portanto KL/KA = EF/EG (1').
Como KL é o braço da alavanca que sustém EG, será preciso um braço de comprimento KA para sustentar EF. É por isso que Arquimedes constrói, no prolongamento de KL, um segmento KT = KA (3) no extremo do qual coloca o peso RS = EF (4) de tal maneira que T seja o meio de RS, quer dizer o seu centro de gravidade
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 | Como os meios dos segmentos EG estão todos situados sobre a mediana AK, o "peso" EG fica, portanto, suspenso no seu centro de gravidade L no extremo do braço da alavanca KL. Além disso, BD e EG são paralelas,
portanto BE/BA = KL/KA (2),portanto KL/KA = EF/EG (1').
Como KL é o braço da alavanca que sustém EG, será preciso um braço de comprimento KA para sustentar EF. É por isso que Arquimedes constrói, no prolongamento de KL, um segmento KT = KA (3) no extremo do qual coloca o peso RS = EF (4) de tal maneira que T seja o meio de RS, quer dizer o seu centro de gravidade.
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 | Com a ajuda das igualdades precedentes, deduz-se:
RS/EG = KL/KT ,
quer dizer, o equilíbrio à volta de K do sistema peso-alavanca.
Em consequência, todos os segmentos que compõem o triângulo equilibram, mantendo-se no seu lugar, todos os da parábola transportados para T. K é sempre o centro de gravidade.
K é, portanto, o centro de gravidade do sistema triângulo e parábola (na forma de segmentos que a compõem transportados para T).
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Além disso X, tal que KX = 1/3 KA , é centro de gravidade do triângulo (cf. tratado Do Equilíbrio das Figuras Planas), portanto KX = 1/3 .
No mesmo tratado, Arquimedes mostra que a relação dos pesos é inversa da das distãncias entre os centros de gravidade particulares (X e T) e o centro geral (K), portanto:
parábola/triângulo = KX/KT = 1/3 .
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Acabamos de ver como é que Arquimedes verifica que a secção de parábola vale um terço do triângulo ABD. De facto, ele exprime os seus resultados dizendo que ela vale os quatro terços do triângulo ABC (o maior contido na secção). Isso deve-se às propriedades da parábola que permitem mostrar que I e C são meios de AB e IJ, portanto que ABC vale 1/4 de ABD; o que termina a demonstração.
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