ENEM - Relações métricas no triângulo retângulo

Marketing, Educação e Segurança: ENEM - Relações métricas no triângulo retângulo:

Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são:

a: hipotenusa

b e c: catetos

h: altura relativa à hipotenusa

m e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.

Relações métricas

Relações métricas nos triângulos retângulos

Projeção ortogonal de segmentos:

Elementos de um triângulo retângulo

No triângulo retângulo ABC da figura acima, temos:

Relações métricas num triângulo retângulo

Vejamos:

Relações das semelhanças dos triângulos:

1) Através da relação de Euclides, podemos dizer que o quadrado da medida de um cateto, é o mesmo que o produto da medida da hipotenusa através da medida da projeção ortogonal deste mesmo cateto sobre a hipotenusa.

2) Através do Teorema de Pitágoras, podemos dizer que o quadrado da medida da hipotenusa, é o mesmo que a soma dos quadrados das medidas dos catetos.

Logo, temos:

3) Há uma igualdade entre o quadrado da medida da altura relativa e o produto das medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

Logo, temos:

4) O produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa será igual ao produto das medidas dos catetos.

Logo, temos:

Resumo das relações métricas no triângulo retângulo

No triângulo retângulo ABC da figura, onde BC = a, AC = b; AB = c; AH = h; BH = m e CH = n, valem as seguintes relações, vejamos:

Resumindo:

Para um triângulo retângulo ABC podemos estabelecer algumas relações entre as medidas de seus elementos:

- O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto sobre a hipotenusa.

b² = a.n

c² = a.m (Relações de Euclides)

- O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa a hipotenusa.

b.c = a.h (derivado do teorema de Pitágoras)

- O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

h² = m.n

- O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.

a² = b² + c²

Essa relação é conhecida pelo nome de TEOREMA DE PITÁGORAS.

Exemplo:

Neste triângulo ABC, vamos calcular a, h, m e n:

a² = b² + c² → a² = 6² + 8² → a² = 100 → a = 10

b.c = a.h → 8.6 = 10.h → h = 48/10 = 4,8

c² = a.m → 6² = 10.m → m = 36/10 = 3,6

b² = a.n → 8² = 10.n → n = 64/10 = 6,4

Determine os valores literais indicados nas figuras:

Pelo teorema de Pitágoras:

13² = 12² + x²

169 = 144 + x²

x² = 25

x = 5

Como ah = bc

5.12 = 13.y

y = 60/13

Pelo teorema de Pitágoras:

5² = 3 + x²

25 = 9 + x²

x² = 16

x = 4

Como ah = bc

5.h= 3 * 4

5h = 12

h = 12/5

h = 2,4

Como c² = an

9 = 5 n

n = 9/5

n = 1,8

Como b² = am

16 = 5 m

n = 3,2

d² = 4² + 5¢

d = sqrt (41)

Determine a altura de um triângulo equilátero de lado l.

l² = l²/4 + h²

Multiplicando a equação por 4

4l² = l² + 4h²

Isolando o h

4h² = 4l² - l²

h² = 3l²/4

h = l *Sqrt(3)/2

Determine x nas figuras.

O triângulo ABC é eqüilátero.

Determine a diagonal de um quadrado de lado l.

Razões trigonométricas

Considere um triângulo retângulo ABC. Podemos definir:

- Seno do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa do triângulo.

senÊ = e/a senÔ = o/a

- Cosseno do ângulo agudo: razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa do triângulo.

cosÊ = o/a cosÔ = e/a

- Tangente do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente.

tgÊ = e/o tgÔ = o/e

Observe: senÊ = cosÔ, senÔ = cosÊ e tgÊ = 1/tgÔ, sempre Ê + Ô = 90º

Exemplo:

senÔ = 3/5 = 0,6 senÊ = 4/5 = 0,8

cosÔ = 4/5 = 0,8 cosÊ = 3/5 = 0,6

tgÔ = 3/4 = 0,75 tgÊ = 4/3 = 1,333....

Ângulos notáveis

Podemos determinar seno, cosseno e tangente de alguns ângulos. Esses ângulos chamados de notáveis, são: 30°, 45° e 60°. A partir das definições de seno, cosseno e tangente, vamos determinar esses valores para os ângulos notáveis. Considere um triângulo eqüilátero de lado l. Traçando a altura AM, obtemos o triângulo retângulo AMC de ângulos agudos iguais a 30° e 60°. Aplicando as razões trigonométricas ao triângulo AMC temos:

Para obter as razões trigonométricas do ângulo de 45°, considere um quadrado de lado l. A diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulos isósceles.

No triângulo ABD, temos: