Matemática elementar/Progressões

Seqüências ou progressões são funções do tipo $f:A \rightarrow B$ , onde A é o conjunto dos números naturais ou um subconjunto dos números naturais consecutivos com mais de dois elementos, e B é um conjunto numérico. Sendo funções, nas sequências existe uma regra geral que permite determinar cada elemento de B a partir do elemento A, por exemplo:

(2,4,6,8,10) é uma seqüência dos números pares de 2 até 10, que pode ser expressa pela função $y = 2x\ (x \in A, y \in B)$ . Também percebe-se que a função pode relacionar o elemento anterior (a_n) com o posterior (a_n+1)da seguinte maneira:

a (n + 1) = a n + r

, sendo r uma razão fixa, a razão de progressão.

Os dois tipos de seqüências matemáticas mais comuns são a progressão aritmética (PA), que contém números tais que o anterior somado a uma razão fixa resulta no posterior, e progressões geométricas (PG), que contém números tais que o anterior multiplicado pela razão fixa resulta no posterior.

Exemplos:

(1,5,9,13,...) é uma progressão aritmética infinita (o que se indica pelo sinal ...) de razão igual a 4.

(1,3,9,27,81) é uma progressão geométrica finita de razão igual a 3.

Progressão Aritmética

Uma progressão aritmética (1,3,5,7).

Progressão aritmética (PA) é uma seqüência que tem entre um elemento e seus adjacentes uma diferença igual. Ou seja, uma seqüência para a qual se determinam os números somando ou subtraindo a razão de progressão.

Exemplo:

P = (2,4,6)

(6 - 4 = 2;4 - 2 = 2)

No exemplo, 2 é a razão de progressão da PA.

Fórmula do Termo Geral

Denomina-se fórmula do termo geral a uma equação que expressa a regra para obterem-se os elementos da progressão. É praticamente o mesmo que a função que define a seqüência. No caso das progressões aritméticas, a fórmula do termo geral é:

a n = a 1 + (n - 1). r

Onde:

a_n é o termo que se procura encontrar (n é o índice, por exemplo, a₃ é o terceiro termo da progressão).
a₁ é o primeiro termo da progressão. Conquanto a fórmula do termo geral seja expressa em função do primeiro termo, nada impede que se utilizem outras posições na seqüência, desde que se adapte a fórmula.
r é a razão de progressão
n é, como já explicado, o índice do elemento procurado

Soma dos Termos

Diz a lenda que o matemático Gauss descobriu a fórmula da soma de termos de uma PA quando tinha cinco anos. Gauss teria sido submetido a um exercício que consistia em somar os números naturais de 1 a 100, e o teria resolvido em alguns minutos, ao contrário do que esperava seu mestre.

Progresión aritmética-suma de términos-.png

Lendas matemáticas à parte, a soma dos termos de uma progressão aritmética pode ser obtida por uma fórmula simples:

$S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n})n}{2}$

Onde:

S_n é a soma dos termos até n.
a₁ e a_n são, respectivamente, o primeiro e o último termo da progressão (ou pelo menos, do subconjunto da progressão sobre o qual será feita a soma)
n é o total de elementos somados; reparar que a fórmula só permite somar elementos contíguos da progressão

Progressão Geométrica

Progressão geométrica (1,2,4,8).

Progressões geométricas são seqüências numéricas em que os elementos crescem por multiplicações, a uma razão fixa.

Exemplo:

P = (1,3,9,27,81)

(razão de progressão q = 3)

Produto

Podemos calcular o produto de n termos de uma P. G. finita por meio da seguinte fórmula:

Aplicação

Determinar o produto dos termos da P. G.

(10^-3, 10^-2, 10^-1, 10, 10², 10³, 10⁴, 10⁵).

Solução:

Como todos os fatores são positivos, o produto é positivo. O produto será determinado pela

Soma Limitada

A soma dos temos dessa PG será 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93. Fazer essa soma é fácil, pois ela possui apenas cinco elementos, caso seja necessário somar os termos de uma PG com mais de dez elementos, o que é mais complicado, é preciso utilizar uma fórmula. Veja a sua demonstração:

Dada uma PG finita qualquer com n elemento, ou seja, com a quantidade de elementos indefinida. PG finita (a1, a2, a3, ... , an). A soma desses n elementos será feita da seguinte forma:

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an

Sabendo que a2 = a1 . q; a3 = a1 . q²; an = a1 . q^{n – 1}

Podemos dizer que a soma dessa PG será:

Sn = a1 + a1 . q + a1 . q² + a1 . q³ + ... + a1 . q^{n – 2} + a1 . q^{n – 1}.

Como se trata de uma equação, se multiplicar um membro é preciso multiplicar o outro, por isso é necessário multiplicar os dois termos da última equação por q:

q . Sn = (a1 + a1 . q + a1 . q² + a1 . q³ + ... + a1 . q^{n – 1})

q . Sn = a1 . q + a1 . q² + a1 . q³ + a1 . q⁴ + ... + a1 . q^{n – 1} + a1 . qⁿ

Fazendo a subtração:

Colocando em evidência os termos semelhantes, temos:
q . Sn – q . Sn = a1 . qⁿ – a1
Sn (q - 1) = a1 (qⁿ – 1)

Isolando o termo Sn (soma dos elementos), iremos obter a seguinte fórmula:

Sn = a1 (qⁿ – 1)
               q - 1

Portanto, a fórmula para obter a soma dos n elementos de uma PG finita é:

Sn = a1 (1 - qⁿ )
        1 - q

Exemplo: Dê a soma dos termos da seguinte PG (7,14,28, ... , 3584).

Para utilizarmos a fórmula da soma é preciso saber quem é o 1º termo, a razão e a quantidade de elementos que essa PG possui.

a1 = 7
q = 2
n = ?
Sn = ?

Portanto, é preciso que encontremos a quantidade de elementos que possui essa PG, utilizando a fórmula do termo geral.

an = a1 . q^{n – 1}
3584 = 7 . 2^{n – 1}
3584 : 7 = 2^{n – 1}
512 = 2^{n – 1}
2⁹ = 2^{n – 1}
n – 1 = 9
n = 10

Sn = a1 (qⁿ – 1)
                q - 1

S10 = 7 (2¹⁰ – 1)
                   2 – 1

S10 = 7 (1024 – 1)
                     2 – 1

S10 = 7 . 1023

S10 = 7161

Por Danielle de Miranda

Soma Limitada e Constante

Soma de Infinitos

    A soma dos termos de uma P.G. infinita se dá pela seguinte equação:

Exercícios resolvidos

1) Ache tres números em P.A crescente,sabendo que a soma é 15 e o produto é 105.

O problema pode ser resolvido assim: Chame de x o primeiro dos 3 números na PA e de r a razão da mesma. Então os termos são os seguintes: x, x+r, x+2r Como a soma deve ser igual a 15, os números x e r precisam satisfazer a equação: x + x+r + x+2r = 15 ou seja, 3x + 3r = 15 que se reescreve como x + r = 5

Logo, r = 5-x.

Por outro lado, se o produto de tais números é 105, deve ocorrer: x*(x+r)*(x+2r)=105 ou seja, x*(x+5-x)*(x+2(5-x))=105 que pode ser reescrito como 50x-5x^2=105

As raízes dessa equação do segundo grau são 3 e 7 e se obtem rapidamente pela fórmula de Bhaskara.

temos que considerar cada um dos casos: x=3 nessa situação, como r=5-x=5-3=2, os termos da PA são 3, 5 e 7

x=7 deduz-se que r=5-7=-2, donde os termos são 7, 5 e 3

Apenas o primeiro caso representa uma PA crescente, logo a resposta é 3, 5 e 7

2) O perímetro de um triangulo retangulo mede 24 cm.Calcule as medidas dos lados sabendo que eles estão em P.A.

Sabendo que os lados estão em PA, podemos chamá-los de x, x+r e x+2r, e supor que esta é uma PA crescente, como no problema anterior. Mas se o perímetro é 24, ou seja a soma dos lados tem esse valor, então: 3x+3r=24

ou seja x+r=8

donde r=8-x

Mas em todo triângulo retângulo vale o Teorema de Pitágoras, e a hipotenusa é sempre o maior lado, então: (x+2r)^2=(x+r)^2+(x)^2

ou seja, (16-x)^2=8^2+x^2

ou ainda, 256 - 32x + x^2= 64 + x^2

que é equivalente a 32x=256-64=192

Portanto, x=6 e consequentemente r=8-6=2. Assim a resposta deve ser 6, 8 e 10.

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