Questão 158 - ENEM 2009 - Matemática e suas tecnologias

Questão 158 - ENEM 2009

Para cada indivíduo, a sua inscrição no Cadastro de Pessoas Físicas (CPF) é composto por um número de 9 algarismos e outro número de 2 algarismos, na forma d1d2, em que os dígitos d1 e d2 são denominados dígitos verificadores. Os dígitos verificadores são calculados, a partir da esquerda, da seguinte maneira: os 9 primeiros algarismos são multiplicados pela sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 (o primeiro por 10, o segundo por 9, e assim sucessivamente); em seguida, calcula-se o resto r da divisão da soma dos resultados das multiplicações por 11, e se esse resto r for 0 ou 1, d1 é zero, caso contrário d1 = (11 – r). O dígito d2 é calculado pela mesma regra, na qual os números a serem multiplicados pela sequência dada são contados a partir do segundo algarismo, sendo d1 o último algarismo, isto é, d2 é zero se o resto s da divisão por 11 das somas das multiplicações for 0 ou 1, caso contrário, d2 = (11 – s).

Suponha que João tenha perdido seus documentos, inclusive o cartão de CPF e, ao dar queixa da perda na delegacia, não conseguisse lembrar quais eram os dígitos verificadores, recordando-se apenas que os nove primeiros algarismos eram 123.456.789. Neste caso, os dígitos verificadores d1 e d2 esquecidos são, respectivamente,

a) 0 e 9. b) 1 e 4. c) 1 e 7. d) 9 e 1. e) 0 e 1.

D.A. RESOLVE

O primeiro passo é seguir a sequência indicada e calcular o dígito d1, tem-se:

Sabe-se, então, que d1 vale 0. O segundo passo é calcular d2, tem-se:

Sendo assim, d1 = 0 e d2 = 9, respectivamente.

Alternativa A.

http://www.da-educa.com/2009/12/matematica-e-suas-tecnologias-enem-2009.html

Por Janildo da Silva Arantes às 10:37

Jefferson Mello

Olá Galera,

Na aula passada nós falamos sobre Múltiplos e Divisores. Espero que vocês tenham entendido bem todas as técnicas que foram passadas. Não deixem as dúvidas acumularem e usem o espaço dos comentários para fazer perguntas. É sempre muito bom ver um comentário novo.

Hoje vamos trabalhar os principais critérios de divisibilidade. Você não precisa efetuar a divisão para saber se um número é ou não divisível por outro.

Critérios de divisibilidade:

Por 2 : Quando é par.

Exemplo: 

789975345678 é divisível por 2, pois termina em número par. 

Por 3 : Quando a soma dos algarismos é divisível por 3.

Exemplo: 

135244341 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 1+3+5+2+4+4+3+4+1=27 e como 27 é divisível por 3, então 135244341 é divisível por 3.

Por 4 : Quando os dois últimos números forem 00 ou divisíveis por 4.

Exemplo: 

345678912 é divisível por 4, pois termina em 12 e 12 é divisível por 4.

Por 5 : Quando termina em 0 ou 5

Exemplo:

1225345725 é divisível por 5, pois termina em 5.

Por 6 : Quando a soma dos algarismos é divisível por 3 e o número for par. Em outras palavras, quando for divisível ao mesmo tempo por 2 e 3.

Exemplo:

745622712 é divisível por 6, porque é divisível por 2 por ser par e é diviível por 3 pois a soma dos algarismos é igual a 36 que é divisível por 3.

Por 7 : Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 7.

Exemplo:

317527 é divisível por 7 pois:

31752	Número sem o último algarismo
14	Dobro do último algarismo
31738	Diferença entre os números

Repete-se o processo com a diferença obtida.

3173	Número sem o último algarismo
16	Dobro do último algarismo
3157	Diferença entre os números

Repete-se o processo com a diferença obtida.

315	Número sem o último algarismo
14	Dobro do último algarismo
301	Diferença entre os números

Repete-se o processo com a diferença obtida.

30	Número sem o último algarismo
2	Dobro do último algarismo
28	Diferença entre os números

A diferença 28 é divisível por 7, portanto o número 317527 também é divisível por 7.

Por 8 : Quando os três últimos números forem 000 ou divisíveis por 8.

Exemplo: 

912326640 é divisível por 8, pois termina em 640 e 640 é divisível por 8.

Por 9 : Quando a soma dos algarismos é divisível por 9.

Exemplo: 

321727464 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos 3+2+1+7+2+7+4+6+4=36 e como 36 é divisível por 9, então 321727464 é divisível por 9.

Por 10 : Quando terminar em 0.

Exemplo: 

78944567890 é divisível por 10, pois termina em 0.

Por 11 : Um número é divisível por 11 se a soma dos algarismos de ordem par Sp menos a soma dos algarismos de ordem ímpar Si é um número divisível por 11. Como um caso particular, se Sp-Si=0 ou se Si-Sp=0, então o número é divisível por 11.

Exemplo: 35310 é divisível por 11, pois:

Número	3	5	3	1	0
Ordem	5ª	4ª	3ª	2ª	1ª

De trás para frente, o primeiro, o terceiro e o quinto algarismo têm ordem impar e a sua soma é: Si=0+3+3=6, o segundo e o quarto algarismo têm ordem par e a sua soma é: Sp=1+5=6. Observe que a soma dos algarismos de ordem par Sp menos a soma dos algarismos de ordem ímpar Si é 6-6 = 0, portanto 35310 é divisível por 11.

Tem dúvidas sobre o que é a Ordem de um número? Clique aqui.

CAIU NO ENEM

ENEM 2009 - Questão 156 – Prova Azul.

a) 0 e 9. b) 1 e 4. c) 1 e 7. d) 9 e 1. e) 0 e 1.

RESOLUÇÃO:

CPF: 23.456.789 – d1 d2

→ d1= 1x10 + 2x9 + 3x8 + 4x7 + 5x6 + 6x5 + 7x4 + 8x3 + 9x2

10 + 18 + 24 + 28 + 30 + 30 + 28 + 24 + 18 = 210

210 : 11 = 19. Como o resto r=1, então d1 = 0

→ d2= 2x10 + 3x9 + 4x8 + 5x7 + 6x6 + 7x5 + 8x4 + 9x3 + 0x2

20 + 27 + 32 + 35 + 36 + 35 + 32 + 27 + 0 = 244

244 : 11 = 22. Como o resto s=2, então d2 = 11-2=9