1) O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido ...

Questões comentadas

O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa.
O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido.

Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada.

O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há:

10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

(Enem 2012, 2º dia, Caderno 5 – Amarelo – Página 19, Matemática e Suas Tecnologias, Questão 136)

Comentários e Solução

Os leitores deste trabalho, que já experimentaram o Enem, sabem que as questões são longas, ou seja, um texto que exige do candidato um bom nível de interpretação e raciocínio nos desenvolvimentos posteriores. Na questão acima, para aquele candidato que não possui o embasamento matemático para ir direto a sua solução, pode-se cometer vários equívocos e a perda de tempo que, possivelmente, implicará em seu fracasso.

Primeira Possibilidade: o candidato desatento, ao chegar à leitura da última opção, já não lembrará mais o que a questão solicita em sua solução, portanto leia o enunciado atentamente, releia-o se for necessário, para que ao final você possa compreender o que realmente pede a questão.
Segunda Possibilidade: o candidato poderá, erroneamente, tentar encontrar, ao invés do número de possibilidades na distribuição dos objetos feita pelos personagens pelos cômodos da casa, qual personagem escondeu determinado objeto e em qual local, visto que o enunciado propõe isso, mas a pergunta não. Isso com certeza o levará a perda de tempo desnecessária e a frustração de não encontrar as respostas que o exame solicita.
Terceira Possibilidade: o candidato tentará formar uma árvore de possibilidades do tipo mostrado abaixo, o que não é errado, mas demanda muito tempo e, no Enem, o relógio não conspira a favor do candidato, muito pelo contrário. Veja!Representando o personagem 1 por P_1,o objeto 1 por O₁ e os cômodos respectivamente por C₁, C₂, C₃, C₄, C₅, C₆, C₇, C₈ e C₉, formaremos uma árvore de possibilidades restrita a apenas um personagem – neste exemplo.

Daí se formaria uma nova árvore, ainda para o primeiro personagem, desta vez para o objeto 2. Depois uma outra para o mesmo personagem e para o objeto 3, e assim sucessivamente. Ainda poderiam ser ramificadas, nesta mesma árvore, as possibilidades para os objetos 2, 3, 4 e 5.Para o primeiro objeto, o personagem 1 terá nove possibilidades de distribuição pelos cômodos da casa. Como há 5 objetos, multiplicaremos 5 (objetos) x 9 (possibilidades de distribuição) e obteremos 45 possibilidades distintas somente para o primeiro personagem. Perceba que através deste método chega-se ao resultado esperado, isto é, 45 possibilidades para o primeiro personagem multiplicado pelo número de personagens (6), 45 x 6 = 270. Como temos 280 participantes nessa brincadeira, subtraindo 270 desse total obteremos 10, ou seja,10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas, ALTERNATIVA (A). Porém, este método demanda muito tempo; por isso aconselho o método posterior.
Quarta Possibilidade: Acertadamente, o candidato deverá buscará seguir o Princípio Fundamental da Contagem. Acompanhem: 5 objetos, 6 personagens e 9 cômodos. Basta que multipliquemos esses valores entre si: 5 x 6 x 9 = 270. Como temos 280 participantes nessa brincadeira, subtraindo 270 desse total obteremos 10, ou seja, 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas, ALTERNATIVA (A).Para fim de clareza veja a definição formal do Princípio Fundamental da Contagem.“Se um acontecimento A pode ocorrer de n maneira distintas e, para cada uma dessas maneiras, um acontecimento B pode ocorrer de m maneiras distintas, então a quantidade de possibilidades de ocorrência dos acontecimentos A e B é dada pelo produto n.m. Este princípio, chamado princípio fundamental da contagem, é válido para qualquer número de acontecimentos.” (SOUZA, 2010, p.217)